Все формулы РФ

Математика / Геометрия

Подобие треугольников по двум углам

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны, а их стороны пропорциональны.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаФормулы по математике для ОГЭФормулы по математике за 8 классПланиметрияЕсть историческая справка

Формула

$$\angle A=\angle A_1,\;\angle B=\angle B_1\Rightarrow \triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1$$
Геометрическая схема Два подобных треугольника

Два треугольника разного размера с отмеченными равными углами; соответствующие вершины подписаны в одном порядке.

После доказательства подобия стороны сравнивают по соответствующим вершинам.

Обозначения

∠A, ∠B
два угла первого треугольника, градусы
∠A1, ∠B1
соответственные углы второго треугольника, градусы
$~$
знак подобия треугольников

Условия применения

  • Две пары углов равны соответственно.
  • Рассматриваются треугольники в евклидовой геометрии.
  • Стороны записываются в порядке соответствующих вершин.

Ограничения

  • Равенство двух углов означает подобие, а не равенство треугольников.
  • Нельзя составлять пропорции без правильного соответствия вершин.
  • Если равен только один угол, признака недостаточно.

Подробное объяснение

Признак по двум углам говорит, что форма треугольника полностью определяется его углами. Если две пары углов совпали, третья пара тоже совпадет, потому что сумма углов каждого треугольника равна 180°.

Когда все соответствующие углы равны, треугольники имеют одинаковую форму, но могут иметь разные размеры. Это и называется подобием. У подобных треугольников соответствующие стороны пропорциональны.

Если коэффициент подобия равен 2, все стороны второго треугольника в два раза больше соответствующих сторон первого. Периметр тоже увеличится в два раза, а площадь - в четыре раза.

В задачах этот признак часто появляется через параллельные прямые, вертикальные углы и углы при основании. После доказательства подобия основная работа переходит к пропорциям сторон.

От равенства треугольников подобие отличается масштабом. Равные треугольники совпадают по размерам, а подобные могут быть увеличенной или уменьшенной копией. Поэтому порядок вершин решающий.

Как пользоваться формулой

  1. Найдите две пары равных углов.
  2. Запишите подобие в порядке соответствующих вершин.
  3. Определите соответствующие стороны.
  4. Составьте пропорцию или найдите коэффициент подобия.
  5. Используйте коэффициент для неизвестной стороны.

Историческая справка

Геометрические формулы планиметрии выросли из землемерия, строительства и античной доказательной геометрии. В «Началах» Евклида были систематизированы свойства треугольников, параллельных прямых, площадей и подобия, хотя привычная буквенная запись появилась гораздо позже. В школе эти результаты используются как формулы и признаки, но их смысл остается доказательным: каждый расчет опирается на параллельность, высоту, равенство углов или сохранение отношений.

Для темы «Подобие треугольников по двум углам» исторический контекст важен: современная формула не возникла как отдельная подсказка, а стала итогом долгого отбора удобной записи. Сначала решали конкретные практические или геометрические задачи, затем выделяли устойчивую связь величин, а учебники закрепляли ее как короткое правило. Поэтому формула одновременно служит вычислительным алгоритмом и способом увидеть структуру задачи.

Историческая линия формулы

У формулы «Подобие треугольников по двум углам» нет единственного автора в современном школьном смысле. Корректнее связывать ее с развитием евклидовой геометрии и школьной планиметрии: нынешняя запись стала стандартной после распространения буквенной символики, доказательных учебников и единой системы школьного курса.

Пример

Задача: в треугольниках равны углы 40° и 70°. Сторона AB равна 6 см, соответствующая A1B1 равна 9 см, а AC равна 8 см. Коэффициент подобия 9/6 = 1,5, значит A1C1 = 8 · 1,5 = 12 см. Ответ: 12 см. Проверка результата обязательна: подставляем найденное число обратно в исходную связь, следим за единицами и оцениваем ответ по смыслу. Если ответ должен быть длиной, площадью, временем или количеством, в конце записываем именно эту единицу, а не только число. Такой контроль помогает отличить верную формулу от похожего, но неподходящего правила.

Частая ошибка

Частая ошибка - после доказательства подобия записывать стороны в произвольном порядке. Вторая ошибка - думать, что подобные треугольники обязательно равны. Третья ошибка - использовать один равный угол и похожий рисунок вместо проверки двух углов. Чтобы избежать ошибки, перед вычислением полезно подписать все величины словами, проверить знак, единицы и соответствие элементов на чертеже или в условии. Если формула применима только при специальных условиях, эти условия записывают до подстановки, а не после получения ответа.

Практика

Задачи с решением

Доказать подобие

Условие. В двух треугольниках углы 50° и 80° соответственно равны. Подобны ли треугольники?

Решение. Да, две пары углов равны.

Ответ. подобны

Найти сторону

Условие. Коэффициент подобия 3, стороне 5 см соответствует неизвестная сторона. Найдите ее.

Решение. 5 · 3 = 15.

Ответ. 15 см

Дополнительные источники

  • ФИПИ. Кодификатор проверяемых требований ОГЭ по математике
  • Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Математика. Алгебра. Геометрия. Основная школа
  • OpenStax Prealgebra 2e and Elementary Algebra 2e: percents, radicals, quadratic equations, geometry

Связанные формулы

Математика

Теорема Фалеса

$\frac{AB}{BC}=\frac{A_1B_1}{B_1C_1}$

Теорема Фалеса утверждает, что параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на этих сторонах пропорциональные отрезки.

Математика

Подобие треугольников по двум углам

$\angle A=\angle A_1,\;\angle B=\angle B_1\Rightarrow \triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1$

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны, а их стороны пропорциональны.