Все формулы РФ

Информатика / Цифровая обработка сигналов

Равенство Парсеваля для энергии блока ДПФ

Равенство Парсеваля позволяет вычислить сумму квадратов отсчётов по всем коэффициентам ДПФ. Множитель 1/N применяется, если прямое преобразование записано без нормировки.

Опубликовано: Обновлено:

Ручной расчетСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справкаДиагностика условий

Формула

$$\sum_{n=0}^{N-1}|x[n]|^2=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}|X[k]|^2$$
Схема Вклады во временную и спектральную суммы
Вклад в сумму, В²0240123ВремяСпектр / N

Во второй серии показано |X[k]|²/N. Сумма высот каждого цвета равна 6 В². Индексы времени и частоты относятся к разным осям представления.

Обозначения

$x[n]$
отсчёт с индексом n, ед. сигнала
$X[k]$
коэффициент ДПФ без нормировки, ед. сигнала
$N$
длина блока, отсчёты
n, k
временной и частотный индексы, —

Условия применения

ДПФ вычисляется по N отсчётам без множителя перед прямой суммой. Правая часть содержит все N частот, включая отрицательные индексы в периодической нумерации. Равенство справедливо и для комплексных отсчётов.

Ограничения

Множитель меняется при унитарной или иной нормировке ДПФ. При взвешивании отсчётов окном равенство относится к взвешенному сигналу. Для энергии непрерывного сигнала по времени требуются шаг дискретизации и соответствующая физическая интерпретация.

Подробное объяснение

В левой части складываются квадраты модулей отсчётов, например В² для отсчётов напряжения. Это дискретная энергия блока. Если разделить её на число отсчётов, получится средний квадрат, а его квадратный корень даст среднеквадратичное значение.

Прямое ДПФ без нормировки представляет каждый коэффициент скалярным произведением с комплексной гармоникой. Разные гармоники ортогональны, а квадрат нормы каждой равен N. При восстановлении сигнала делитель N компенсирует эту норму, поэтому он появляется и в балансе энергии.

У вещественного сигнала модуль коэффициента для отрицательной частоты совпадает с модулем сопряжённого положительного коэффициента. Если хранится только половина спектра, к сумме добавляют парный вклад. Нулевой коэффициент и индекс Найквиста при чётном N остаются одиночными.

Сумма квадратов зависит от длины блока. При сравнении записей разной длины полезно сначала получить средний квадрат, разделив её на N. Чтобы получить плотность по частоте, нужно отдельно учесть частоту дискретизации и нормировку окна.

Как пользоваться формулой

  1. Уточните нормировку прямого ДПФ и выпишите длину именно того блока, который преобразовали.
  2. Для каждого комплексного коэффициента сложите квадраты его вещественной и мнимой частей.
  3. Сложите вклады всех частот или восстановите вклад отсутствующих сопряжённых коэффициентов.
  4. Разделите сумму на N для энергии блока, а для среднего квадрата разделите полученный результат на N ещё раз.

Историческая справка

Равенства, носящие имя Парсеваля, связывают квадратичную норму функции и её коэффициенты в ортогональном разложении. В дискретном анализе используется конечный набор гармоник. Поэтому проверка равенства сводится к сумме степеней корней из единицы и не требует условий сходимости бесконечного ряда.

В 1965 году Кули и Тьюки опубликовали алгоритм машинного вычисления комплексных коэффициентов, использующий корни из единицы. Для цифровой обработки связь между энергиями во временной и частотной областях стала удобной проверкой таких вычислений. В учебных материалах Университета Пенсильвании равенство доказывается через ортогональность конечного набора гармоник. Тот же коэффициент 1/N следует из матричного представления ДПФ в курсе Стэнфорда.

Историческая линия формулы

Имя Парсеваля обозначает связь норм в ортогональном представлении. Запись с множителем 1/N относится к соглашению о нормировке конечного ДПФ, принятому на этой странице. Быстрые алгоритмы меняют способ вычисления коэффициентов при сохранении их определения.

Пример

У сигнала x=[1, 2, 0, 1] В нужно найти сумму квадратов по коэффициентам ДПФ и сверить её с расчётом по отсчётам. Прямое ДПФ записано без множителя. Для N=4 получаем X=[4, 1−i, −2, 1+i]. Например, для k=1 множители равны 1, −i, −1, i, поэтому X[1]=1−2i+i=1−i. Квадраты модулей спектра равны 16, 2, 4 и 2. По Парсевалю энергия блока (16+2+4+2)/4=6 В². Прямой расчёт 1²+2²+0²+1²=6 В². Средний квадрат равен 1,5 В², среднеквадратичное напряжение √1,5≈1,225 В. Эта величина ниже максимального отсчёта 2 В и имеет единицы напряжения.

Частая ошибка

Подставляют квадраты комплексных чисел вместо квадратов их модулей. Делят на N дважды и называют ответ энергией блока. Забывают учесть вторую половину спектра вещественного сигнала либо удваивают постоянную составляющую вместе с парными частотами. Для чётной длины проверяйте частоту Найквиста отдельно.

Практика

Задачи с решением

Средний квадрат из пары частот

Условие. Спектр длины 4 равен [0, 3+4i, 0, 3−4i] В. Найдите энергию блока и средний квадрат.

Решение. Сумма квадратов модулей 25+25=50 В². Энергия 50/4=12,5 В², средний квадрат 12,5/4=3,125 В².

Ответ. 12,5 В² и 3,125 В².

Проверка для двух отсчётов

Условие. Для x=[2, −2] В получите спектр и проверьте энергию.

Решение. Коэффициенты 2−2=0 и 2+2=4 В. Спектральная сумма даёт 16/2=8 В², столько же дают два квадрата отсчётов.

Ответ. X=[0, 4] В, энергия 8 В².

Дополнительные источники

  • https://ese2240.seas.upenn.edu/wp-content/uploads/2022/01/200_discrete_fourier_transform.pdf
  • https://see.stanford.edu/materials/lsoftaee261/book-fall-07.pdf
  • https://www.ams.org/mcom/1965-19-090/S0025-5718-1965-0178586-1/S0025-5718-1965-0178586-1.pdf

Связанные формулы

Информатика

Циклическая свёртка через дискретное преобразование Фурье

$\begin{aligned}y[n]&=\sum_{m=0}^{N-1}x[m]\,h[(n-m)\bmod N],\\Y[k]&=X[k]H[k].\end{aligned}$

Циклическая свёртка возвращает N значений, обращаясь к индексам по модулю N. Она равна обратному ДПФ произведения спектров, а дополнение нулями позволяет получить линейную свёртку.

Информатика

Периодограмма спектральной плотности мощности

$P_2[k]=\frac{|X_w[k]|^2}{f_s\sum_{n=0}^{N-1}|w[n]|^2},\quad X_w[k]=\sum_{n=0}^{N-1}w[n]x[n]e^{-2\pi i kn/N}$

Периодограмма переводит квадраты модулей спектра в плотность мощности по частоте. Масштаб задают частота дискретизации и сумма квадратов отсчётов окна.

Информатика

Спектральная плотность мощности по методу Уэлча

$\widehat S_{\mathrm{Welch}}[k]=\frac{1}{M}\sum_{j=0}^{M-1}P_j[k],\quad P_j[k]=\frac{|\operatorname{DFT}(w\,x_j)[k]|^2}{f_s\sum_n w[n]^2}$

Метод Уэлча разбивает запись на сегменты, строит оконную периодограмму каждого сегмента и усредняет значения плотности по частотам. Сегменты могут перекрываться.

Информатика

Дискретное преобразование Фурье и обратная формула

$X_k=\sum_{n=0}^{N-1}x_n e^{-2\pi i kn/N},\qquad x_n=\frac1N\sum_{k=0}^{N-1}X_k e^{2\pi i kn/N}$

Дискретное преобразование Фурье переводит конечную последовательность в комплексные частотные коэффициенты. Обратная сумма восстанавливает все отсчёты; знак экспоненты и нормировку нужно выбирать согласованно.

Информатика

Частоты и амплитуды по коэффициентам ДПФ

$\Delta f=\frac{f_s}{N},\quad f_k=\frac{kf_s}{N},\quad A_k=\frac{2|X_k|}{N}\quad(0<k<N/2)$

Шаг частот ДПФ равен частоте дискретизации, делённой на длину записи. Для вещественной гармоники точно на внутреннем частотном отсчёте амплитуда равна удвоенному модулю коэффициента, делённому на число отсчётов.