Информатика / Цифровая обработка сигналов

Спектральная плотность мощности по методу Уэлча

Метод Уэлча разбивает запись на сегменты, строит оконную периодограмму каждого сегмента и усредняет значения плотности по частотам. Сегменты могут перекрываться.

Опубликовано: 12 ноября 2026 г.Обновлено: 12 ноября 2026 г.

Формула

\widehat S_{\mathrm{Welch}}[k]=\frac{1}{M}\sum_{j=0}^{M-1}P_j[k],\quad P_j[k]=\frac{|\operatorname{DFT}(w\,x_j)[k]|^2}{f_s\sum_n w[n]^2}

Схема Два сегмента и их средняя плотность

На частоте 2 Гц второй сегмент даёт в четыре раза большую плотность. Среднее показано третьим столбцом.

Обозначения

$ŜWelch[k]$: средняя оценка плотности по сегментам, квадрат ед. сигнала/Гц
$Pⱼ[k]$: двусторонняя периодограмма сегмента j, квадрат ед. сигнала/Гц
$M$: число полных сегментов, —
$xⱼ$: отсчёты сегмента j, ед. сигнала
$w[n]$: веса окна сегмента, —
$fₛ$: частота дискретизации, Гц
$k$: индекс частотной ячейки, —

Условия применения

Нужны равномерная дискретизация, одинаковые окно и длина ДПФ для всех сегментов, положительная энергия окна. Формула использует арифметическое среднее. Для одностороннего результата вещественных данных складывают соответствующие двусторонние ячейки.

Ограничения

Короткие сегменты расширяют спектральные пики и мешают отделить близкие компоненты. Сильное перекрытие делает соседние оценки зависимыми. При меняющемся режиме средняя плотность скрывает изменение спектра во времени.

Подробное объяснение

Запись делят на сегменты длины L. Если шаг между началами H меньше L, соседние сегменты перекрываются. При длине записи N и использовании только полных сегментов их число равно 1+⌊(N−L)/H⌋.

Каждый сегмент умножают на одно и то же окно и переводят в периодограмму с нормировкой по энергии окна. Затем усредняют значения для одного k. Усреднение комплексных коэффициентов до возведения в квадрат могло бы погасить одинаковые по мощности компоненты с разными фазами.

При длине ДПФ L расстояние между частотными точками равно fₛ/L. Увеличение L улучшает сетку частот, но уменьшает число полных сегментов при фиксированной записи и сопоставимом перекрытии. Различимость соседних пиков зависит также от ширины главного лепестка окна.

Перекрытие помогает использовать данные, расположенные у краёв окон с малыми весами. Однако количество сегментов не равно числу независимых оценок. Смысл результата — усреднённая плотность в пределах записи при выбранных параметрах сегментации.

Как пользоваться формулой

Задайте длину сегмента, перекрытие и шаг, затем перечислите начала всех полных сегментов в записи.
Для каждого сегмента одинаково обработайте тренд, примените одно окно и вычислите ДПФ общей длины.
Преобразуйте квадраты модулей в плотность мощности и усредните плотности по сегментам в каждой ячейке.
Для вещественной записи при необходимости сложите парные частоты и укажите длину окна, шаг и шкалу плотности.

Историческая справка

Питер Уэлч в работе 1967 года предложил оценивать спектральную плотность усреднением модифицированных периодограмм коротких сегментов с помощью быстрого преобразования Фурье. Такой расчёт позволял выбирать длину блока и уменьшать разброс оценки по сравнению с использованием одной периодограммы.

Современная документация scipy.signal.welch описывает разбиение на сегменты, оконное взвешивание, перекрытие и усреднение. С прямоугольным окном и без перекрытия схема сводится к усреднению обычных периодограмм по Бартлетту. Его работа о периодограммах и непрерывных спектрах вышла в 1950 году. Усреднение можно модифицировать, но на этой странице разбирается исходная арифметическая схема.

Историческая линия формулы

Метод назван по работе Питера Уэлча 1967 года о вычислении спектров мощности по коротким модифицированным периодограммам. Здесь используется среднее по сегментам. Дополнительные настройки окон и усреднения относятся к конкретной реализации.

Пример

Измерения при 8 Гц делятся на два сегмента без перекрытия: [1, 0, −1, 0] и [2, 0, −2, 0] В. Возьмём прямоугольное окно длины 4 и сравним односторонние оценки при 2 Гц. Модули коэффициентов ДПФ для этой частоты равны 2 и 4 В. Делитель fₛL=32 Гц. После сложения парных частот получаем 2·4/32=0,25 и 2·16/32=1 В²/Гц. Среднее равно (0,25+1)/2=0,625 В²/Гц. При шаге частот 2 Гц вклад составляет 1,25 В². Это совпадает со средним из средних квадратов двух сегментов, (0,5+2)/2, поскольку остальные ячейки в примере нулевые.

Частая ошибка

Усредняют модули вместо квадратов модулей. Считают шаг сегментов равным перекрытию, хотя шаг равен L минус перекрытие. Объявляют все перекрывающиеся сегменты независимыми. Считают, что дополнение нулями до более длинного ДПФ улучшает физическую различимость пиков.

Практика

Задачи с решением

Сосчитать перекрывающиеся сегменты

Условие. N=1000, L=256, перекрытие 128 отсчётов, fₛ=256 Гц. Сколько полных сегментов и каков шаг частот без дополнения нулями?

Решение. Шаг сегментов 128. Число 1+⌊744/128⌋=6. Частотный шаг 256/256=1 Гц.

Ответ. 6 сегментов, 1 Гц.

Усреднить одну ячейку

Условие. В одной ячейке три оценки равны 0,2, 0,5 и 0,8 В²/Гц. Найдите оценку Уэлча при арифметическом усреднении.

Решение. Сумма 1,5 В²/Гц, делитель 3. Единицы сохраняются при усреднении.

Ответ. 0,5 В²/Гц.

Дополнительные источники

https://doi.org/10.1109/TAU.1967.1161901
https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.signal.welch.html
https://docs.scipy.org/doc/scipy/tutorial/signal.html

Связанные формулы

Информатика

Равенство Парсеваля для энергии блока ДПФ

$\sum_{n=0}^{N-1}|x[n]|^2=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}|X[k]|^2$

Равенство Парсеваля позволяет вычислить сумму квадратов отсчётов по всем коэффициентам ДПФ. Множитель 1/N применяется, если прямое преобразование записано без нормировки.

Информатика

Циклическая свёртка через дискретное преобразование Фурье

$\begin{aligned}y[n]&=\sum_{m=0}^{N-1}x[m]\,h[(n-m)\bmod N],\\Y[k]&=X[k]H[k].\end{aligned}$

Циклическая свёртка возвращает N значений, обращаясь к индексам по модулю N. Она равна обратному ДПФ произведения спектров, а дополнение нулями позволяет получить линейную свёртку.

Информатика

Периодограмма спектральной плотности мощности

$P_2[k]=\frac{|X_w[k]|^2}{f_s\sum_{n=0}^{N-1}|w[n]|^2},\quad X_w[k]=\sum_{n=0}^{N-1}w[n]x[n]e^{-2\pi i kn/N}$

Периодограмма переводит квадраты модулей спектра в плотность мощности по частоте. Масштаб задают частота дискретизации и сумма квадратов отсчётов окна.

Информатика

Дискретное преобразование Фурье и обратная формула

$X_k=\sum_{n=0}^{N-1}x_n e^{-2\pi i kn/N},\qquad x_n=\frac1N\sum_{k=0}^{N-1}X_k e^{2\pi i kn/N}$

Дискретное преобразование Фурье переводит конечную последовательность в комплексные частотные коэффициенты. Обратная сумма восстанавливает все отсчёты; знак экспоненты и нормировку нужно выбирать согласованно.

Информатика

Окно Ханна: коэффициенты и поправка амплитуды

$w_n=\frac12\left(1-\cos\frac{2\pi n}{N-1}\right),\quad G_c=\frac1N\sum_{n=0}^{N-1}w_n,\quad N>1$

Симметричное окно Ханна плавно уменьшает края записи до нуля. Оно снижает дальнюю спектральную утечку ценой расширения главного лепестка и изменения амплитуды, поэтому масштаб спектра требует отдельной поправки.