Все формулы РФ

Физика / Механика

Ускорение свободного падения около Земли

Ускорение свободного падения около Земли определяется массой Земли и расстоянием до ее центра: чем больше масса планеты и меньше радиус, тем больше g.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаОГЭФормулы по физике за 9 классМеханикаДинамикаШкольные формулы по физикеКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$g=\frac{GM}{R^2}$$
Гравитационная схема Расстояние до центра Земли

Показана Земля, тело у поверхности, радиус R до центра и стрелка ускорения g, направленная к центру.

В формуле используется расстояние до центра планеты, а не только высота над поверхностью.

Обозначения

$g$
ускорение свободного падения, м/с^2
$G$
гравитационная постоянная, Н*м^2/кг^2
$M$
масса Земли или другой планеты, кг
$R$
расстояние от центра планеты до тела, м

Условия применения

  • Тело находится вне планеты или около ее поверхности, а планету приближенно считают сферически симметричной.
  • Сопротивлением воздуха и вращением Земли пренебрегают.
  • R означает расстояние до центра Земли, а не высоту над поверхностью.

Ограничения

  • Реальное g немного зависит от широты, высоты, формы Земли и ее вращения.
  • Формула не описывает движение с сопротивлением воздуха, где ускорение падающего тела уже не равно g.
  • Вблизи поверхности Земли для обычных задач часто достаточно брать g = 9,8 м/с^2 или 10 м/с^2.

Подробное объяснение

Ускорение свободного падения возникает из гравитационного притяжения Земли. По второму закону Ньютона сила тяжести сообщает телу ускорение, а по закону всемирного тяготения эта сила равна GMm/R^2.

Если приравнять mg и GMm/R^2, масса падающего тела m сокращается. Поэтому в модели без сопротивления воздуха все тела у поверхности Земли получают одно и то же ускорение, независимо от собственной массы.

Зависимость от R имеет квадрат в знаменателе. Это означает, что при увеличении расстояния от центра планеты гравитационное ускорение уменьшается не линейно, а быстрее. Поэтому на больших высотах g меньше, чем у поверхности.

В школьных расчетах около поверхности Земли часто используют приближение g = 9,8 м/с^2 или g = 10 м/с^2. Это удобно для задач о падении, весе и работе силы тяжести. Формула с G, M и R объясняет, откуда берется это число.

Перед применением важно понять, какая модель нужна. Если задача про обычное падение с небольшой высоты, достаточно постоянного g. Если сравнивают планеты или высоты, нужно использовать зависимость от массы планеты и расстояния до центра.

Как пользоваться формулой

  1. Определите массу планеты и расстояние от ее центра до тела.
  2. Переведите все величины в единицы СИ.
  3. Подставьте G, M и R в формулу g = GM/R^2.
  4. Выполните квадрат расстояния в знаменателе.
  5. Сравните результат с известным значением около 9,8 м/с^2 для Земли.

Историческая справка

Свободное падение изучал Галилей, показавший, что без сопротивления среды тела падают с одинаковым ускорением. Ньютон в XVII веке связал падение тел у поверхности Земли с движением Луны и сформулировал закон всемирного тяготения. Это позволило понять g не как отдельное земное свойство, а как следствие массы Земли и расстояния до ее центра. В XVIII-XIX веках измерения формы Земли, маятниковые опыты и развитие геодезии уточняли значение g в разных местах. В школьной физике формула g = GM/R^2 связывает кинематику падения с динамикой и гравитацией: одно и то же поле объясняет и падение яблока, и движение спутников. Современные спутниковые и гравиметрические измерения показывают малые региональные отличия g, но школьная модель сохраняет главную зависимость от массы и расстояния.

Историческая линия формулы

Современное понимание g объединяет опыты Галилея о свободном падении и ньютоновский закон всемирного тяготения. Формула g = GM/R^2 является следствием закона тяготения и второго закона Ньютона для тела у планеты. В школьном курсе она служит аккуратным мостом между табличным значением g и более общим гравитационным законом.

Пример

Оценим ускорение свободного падения у поверхности Земли. Возьмем G = 6,67*10^-11 Н*м^2/кг^2, M = 5,97*10^24 кг, R = 6,37*10^6 м. Тогда g = GM/R^2 = 6,67*10^-11 * 5,97*10^24 / (6,37*10^6)^2. Числитель примерно 3,98*10^14, знаменатель примерно 4,06*10^13, поэтому g около 9,8 м/с^2. Проверка по смыслу: это совпадает с табличным значением у поверхности Земли. Если подняться высоко над Землей, расстояние R увеличится, и g уменьшится по закону обратных квадратов. Если вместо радиуса ошибочно подставить высоту над поверхностью, знаменатель станет совсем другим, и ответ потеряет физический смысл, потому что притяжение определяется расстоянием до центра массы Земли.

Частая ошибка

Частая ошибка - подставлять в знаменатель высоту над поверхностью вместо расстояния от центра Земли. Вторая ошибка - считать g абсолютно одинаковым везде; в реальности оно немного меняется. Третья ошибка - путать массу тела с массой Земли: ускорение свободного падения не зависит от массы падающего тела в модели без сопротивления воздуха. Еще одна ошибка - применять g = 10 м/с² там, где требуется точная оценка по закону тяготения.

Практика

Задачи с решением

Оценка g

Условие. Для планеты M = 6,0*10^24 кг, R = 6,4*10^6 м. G = 6,67*10^-11. Оцените g.

Решение. g = GM/R^2 ≈ 6,67*10^-11*6,0*10^24/(6,4*10^6)^2 ≈ 9,8 м/с^2.

Ответ. примерно 9,8 м/с^2

Увеличение расстояния

Условие. Если расстояние до центра планеты увеличили в 2 раза, как изменится g?

Решение. Так как g пропорционально 1/R^2, при увеличении R в 2 раза g уменьшится в 4 раза.

Ответ. уменьшится в 4 раза

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax College Physics 2e, раздел Newton's Law of Universal Gravitation
  • Isaac Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, 1687
  • ФИПИ: кодификатор ОГЭ по физике 2026, гравитационные явления

Связанные формулы

Физика

Работа силы тяжести

$A=m g (h_1-h_2)$

Работа силы тяжести равна произведению массы, ускорения свободного падения и уменьшения высоты тела относительно выбранного уровня.