Все формулы РФ

Физика / Молекулярная физика

Изменение энтропии при передаче теплоты между резервуарами

При передаче теплоты Q от горячего резервуара к холодному изменение суммарной энтропии равно Q(1/Tc−1/Th) для постоянных температур резервуаров.

Опубликовано: Обновлено:

Молекулярная физикаСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справкаФормулы высшей физики

Формула

$$\Delta S_{total}=Q\left(\frac{1}{T_c}-\frac{1}{T_h}\right)$$
График ΔS, Дж/К и Q, Дж
ΔS, Дж/К в зависимости от Q, ДжΔS, Дж/К000,546001,081 2001,621 8002,162 400Q, Дж

Постоянные температуры 400 и 300 К. Суммарное производство энтропии положительно.

Обозначения

$ΔS_total$
изменение суммарной энтропии двух резервуаров, Дж/К
$Q$
теплота, ушедшая от горячего к холодному резервуару, Дж
$T_h$
постоянная температура горячего резервуара, К
$T_c$
постоянная температура холодного резервуара, К

Условия применения

Горячий резервуар имеет постоянную температуру Th, холодный — постоянную Tc, Th>Tc>0. Теплота Q положительна по величине и передаётся от горячего к холодному без других потоков энергии.

Ограничения

Для конечных резервуаров температуры меняются, поэтому нельзя умножать всю Q на одну начальную разность обратных температур. Нужно интегрировать dS = −dQ/Th(Q)+dQ/Tc(Q) или использовать теплоёмкости и конечные состояния.

Подробное объяснение

Горячий резервуар теряет теплоту Q и меняет энтропию на −Q/Th. Холодный получает ту же теплоту и получает +Q/Tc. Сумма равна Q(1/Tc−1/Th). При Th>Tc скобка положительна: самопроизвольная теплопередача создаёт энтропию.

Если резервуары имеют одинаковую температуру, изменение суммарной энтропии нулевое для обратимого предельного обмена. При конечной разности температур появляется положительное производство энтропии, поэтому такой обмен необратим.

Температуры должны быть в кельвинах, а Q — в джоулях; результат имеет Дж/К. Формула описывает только изменение двух резервуаров и не включает энтропию рабочего тела, если оно участвует в цикле.

Для конечных тел Th и Tc меняются во время обмена. Тогда начальная формула даёт лишь локальную оценку; точный расчёт требует интеграла по текущим температурам или выражения через теплоёмкости. Нельзя считать резервуар бесконечным без оговорки.

Проверка второго закона проста: при передаче от горячего к холодному ΔS_total≥0. Отрицательный результат означает перепутанные температуры или знак Q.

Как пользоваться формулой

  1. Опишите процесс и укажите постоянные величины.
  2. Переведите все данные в СИ и температуру в К.
  3. Выразите неизвестную величину символически.
  4. Подставьте реальные числа и сохраните промежуточный результат.
  5. Проверьте знак, размерность и физический предел.

Историческая справка

Количественное понятие энтропии возникло при анализе необратимости тепловых машин. Карно показал значение обратимых переходов, а Клаузиус в XIX веке связал обратимый поток теплоты с отношением δQ/T и сформулировал неравенство для реальных процессов. Передача теплоты через конечную разность температур стала наглядным примером положительного производства энтропии. Статистическое толкование Больцмана позднее объяснило этот рост увеличением числа доступных микросостояний. Современная формула для двух термостатов является частным интегрируемым случаем: постоянные температуры позволяют вынести 1/T за знак интеграла. Для конечных тел температуры меняются, и история расчёта должна учитывать теплоёмкости по всему пути.

Историческая линия формулы

Связь δQ_rev/T с энтропией относится к Клаузиусу, а статистическое толкование — к Больцману. Формула Q(1/Tc−1/Th) — частный случай баланса энтропии для двух резервуаров постоянной температуры, а не универсальная запись для конечных тел.

Пример

Большие термостаты имеют Th = 400 К и Tc = 300 К, между ними передано Q = 1200 Дж. Энтропия горячего резервуара изменилась на −1200/400 = −3,000 Дж/К, холодного — на +1200/300 = +4,000 Дж/К. Сумма ΔS_total = 1,000 Дж/К. Прямая формула даёт 1200(1/300−1/400) = 1200/1200 = 1,000 Дж/К. Положительный результат согласуется со вторым законом. Если бы температуры были равны, результат был бы нулевым; для конечных тел с меняющимися температурами этот простой расчёт использовать нельзя. Теплота Q считается положительной при передаче от горячего тела холодному. Потеря энтропии горячего резервуара по модулю меньше приобретения холодного, поскольку одна и та же энергия делится на разные температуры. Именно разница составляет производство энтропии.

Частая ошибка

Нельзя подменять абсолютные температуры градусами Цельсия, смешивать теплоту одного резервуара с полной теплотой цикла или считать статистическое среднее скоростью каждой частицы. Для конечных резервуаров температура меняется, а идеальные формулы требуют мгновенных или средних температур.

Практика

Задачи с решением

Малая передача

Условие. Q = 500 Дж, Th = 350 К, Tc = 300 К. Найдите ΔS_total.

Решение. ΔS = 500(1/300−1/350) = 0,2381 Дж/К.

Ответ. ΔS≈0,238 Дж/К

Большая разность температур

Условие. Q = 2,00 кДж, Th = 600 К, Tc = 300 К.

Решение. ΔS = 2000(1/300−1/600) = 3,333 Дж/К.

Ответ. ΔS≈3,33 Дж/К

Дополнительные источники

  • https://openstax.org/books/university-physics-volume-2/pages/4-6-entropy
  • https://openstax.org/books/university-physics-volume-2/pages/4-4-statements-of-the-second-law-of-thermodynamics

Связанные формулы

Физика

Изменение энтропии идеального газа

$\Delta S=\nu C_V\ln\frac{T_2}{T_1}+\nu R\ln\frac{V_2}{V_1}$

Изменение энтропии идеального газа между двумя равновесными состояниями вычисляется по отношениям температур и объёмов. Формула сравнивает два равновесных состояния одной порции газа.

Физика

КПД цикла Карно

$\eta_C=1-\frac{T_2}{T_1}$

Максимальный КПД обратимого двигателя между двумя постоянными температурами равен 1 − Tc/Th. Температуры берут в кельвинах; реальные потери уменьшают достижимый результат.