Все формулы РФ

Финансы / Портфель и риск

Дисперсия портфеля из двух активов

Дисперсия портфеля из двух активов показывает риск сочетания двух доходностей с учетом весов, индивидуальной волатильности и корреляции между активами.

Опубликовано: Обновлено:

Портфель и рискБазовые финансовые расчетыЕсть историческая справкаСтраницы с задачами и решениями

Формула

$$\sigma_p^2=w_1^2\sigma_1^2+w_2^2\sigma_2^2+2w_1w_2\rho_{12}\sigma_1\sigma_2$$

Обозначения

$\sigma_p^2$
дисперсия доходности портфеля, квадрат доли доходности
$w_1, w_2$
веса первого и второго актива, доли портфеля
$\sigma_1, \sigma_2$
стандартные отклонения доходностей активов, доля доходности
$\rho_{12}$
коэффициент корреляции доходностей двух активов, от -1 до 1

Условия применения

  • Доходности активов должны быть измерены за одинаковые периоды.
  • Веса относятся к одной структуре портфеля; для обычного портфеля w_1 + w_2 = 1.
  • Корреляция должна быть рассчитана по сопоставимым наблюдениям доходностей.

Ограничения

  • Формула описывает дисперсию при заданных оценках волатильности и корреляции, которые могут меняться во времени.
  • Дисперсия одинаково учитывает положительные и отрицательные отклонения от среднего.
  • Для портфеля из большего числа активов нужна матричная форма с ковариационной матрицей.

Подробное объяснение

Дисперсия портфеля из двух активов измеряет разброс доходности портфеля вокруг ее среднего значения. В отличие от ожидаемой доходности, риск не складывается простой взвешенной суммой. Причина в том, что отклонения активов могут происходить одновременно, в разные стороны или почти независимо.

Первые два слагаемых показывают собственный вклад каждого актива в риск портфеля. Вес входит в квадрате, потому что дисперсия масштабируется квадратом коэффициента. Если долю актива уменьшить вдвое, его индивидуальный вклад в дисперсию уменьшится в четыре раза, при прочих равных условиях.

Третье слагаемое отвечает за совместное движение активов. При положительной корреляции активы чаще отклоняются в одну сторону, и риск портфеля растет. При нулевой корреляции ковариационный член исчезает. При отрицательной корреляции он уменьшает дисперсию и показывает эффект диверсификации.

Формула помогает понять, почему два рискованных актива вместе могут дать менее рискованный портфель, чем простое среднее их волатильностей. Главное условие - их доходности не должны двигаться совершенно одинаково. Чем ниже корреляция, тем сильнее потенциальное снижение риска.

Перед расчетом важно различать дисперсию и стандартное отклонение. Формула дает sigma_p^2. Чтобы получить волатильность в привычных процентах, нужно взять квадратный корень. Сравнивать с sigma_1 и sigma_2 следует именно стандартное отклонение, а не дисперсию.

Как пользоваться формулой

  1. Переведите веса, волатильности и корреляцию в числовой вид.
  2. Посчитайте вклад первого актива w_1^2 sigma_1^2.
  3. Посчитайте вклад второго актива w_2^2 sigma_2^2.
  4. Добавьте ковариационный член с корреляцией.
  5. Возьмите квадратный корень, если нужна волатильность портфеля.

Историческая справка

Дисперсия как мера разброса развивалась в статистике XIX и начала XX века, а ковариация и корреляция стали стандартными инструментами анализа совместного изменения величин. В финансах решающим шагом стала работа Гарри Марковица 1952 года, где риск портфеля был описан не как сумма рисков отдельных бумаг, а через ковариации доходностей. Это изменило язык инвестиций: важным стал не только выбор отдельных активов, но и сочетание активов между собой. Формула для двух активов является наглядным частным случаем общей ковариационной матрицы. Она показывает весь смысл диверсификации в одной строке: корреляция может уменьшать или увеличивать риск портфеля при тех же весах и индивидуальных волатильностях.

Историческая линия формулы

Современная портфельная интерпретация формулы связана с Гарри Марковицем и современной портфельной теорией. Математические элементы - дисперсия, ковариация и корреляция - сформировались раньше в статистической традиции и затем были применены к доходностям активов.

Пример

Дано: портфель состоит из двух активов с весами 60% и 40%. Стандартное отклонение первого актива 15%, второго 10%, корреляция 0,3. Подстановка в долях: sigma_p^2 = 0,6^2*0,15^2 + 0,4^2*0,10^2 + 2*0,6*0,4*0,3*0,15*0,10. Получаем 0,36*0,0225 + 0,16*0,0100 + 0,48*0,3*0,015 = 0,0081 + 0,0016 + 0,00216 = 0,01186. Ответ: дисперсия равна 0,01186, стандартное отклонение примерно sqrt(0,01186) = 0,1089, или 10,89%. Проверка: риск портфеля меньше 15%, потому что часть средств в менее волатильном активе и корреляция ниже 1.

Частая ошибка

Частая ошибка - забыть квадрат весов в первых двух слагаемых. Вторая ошибка - подставить проценты как 15 и 10 вместо 0,15 и 0,10, что увеличивает ответ в тысячи раз. Третья ошибка - пропустить ковариационный член 2w_1w_2 rho sigma_1 sigma_2; тогда исчезает главный эффект совместного движения активов. Еще одна ошибка - считать корреляцию постоянным свойством: в реальных данных она меняется, а в учебной задаче берется как заданный параметр.

Практика

Задачи с решением

Нулевая корреляция

Условие. w_1=0,5, w_2=0,5, sigma_1=20%, sigma_2=10%, rho=0. Найдите дисперсию.

Решение. sigma_p^2 = 0,25*0,04 + 0,25*0,01 + 0 = 0,0100 + 0,0025 = 0,0125.

Ответ. 0,0125

Положительная корреляция

Условие. w_1=0,7, w_2=0,3, sigma_1=12%, sigma_2=8%, rho=0,5. Найдите дисперсию.

Решение. sigma_p^2 = 0,49*0,0144 + 0,09*0,0064 + 2*0,7*0,3*0,5*0,12*0,08 = 0,007056 + 0,000576 + 0,002016 = 0,009648.

Ответ. 0,009648

Дополнительные источники

  • Markowitz. Portfolio Selection, Journal of Finance, 1952
  • Bodie, Kane, Marcus. Investments, раздел Risk and Return
  • OpenStax Principles of Finance, раздел Portfolio Risk

Связанные формулы

Финансы

Ожидаемая доходность портфеля

$E(R_p)=\sum_{i=1}^{n} w_i E(R_i)$

Ожидаемая доходность портфеля равна взвешенной сумме ожидаемых доходностей активов, где вес показывает долю каждого актива в общей стоимости портфеля.

Финансы

Бета-коэффициент акции к рыночному портфелю

$\beta_i=\frac{\operatorname{Cov}(R_i,R_m)}{\operatorname{Var}(R_m)}$

Бета-коэффициент акции показывает чувствительность доходности актива к доходности рыночного портфеля через отношение ковариации с рынком к дисперсии рынка.