Все формулы РФ

Финансы / Портфель и риск

Бета-коэффициент акции к рыночному портфелю

Бета-коэффициент акции показывает чувствительность доходности актива к доходности рыночного портфеля через отношение ковариации с рынком к дисперсии рынка.

Опубликовано: Обновлено:

Портфель и рискБазовые финансовые расчетыЕсть историческая справкаСтраницы с задачами и решениями

Формула

$$\beta_i=\frac{\operatorname{Cov}(R_i,R_m)}{\operatorname{Var}(R_m)}$$

Обозначения

$\beta_i$
бета-коэффициент i-го актива, безразмерная величина
$R_i$
доходность актива, доля или процент за период
$R_m$
доходность рыночного портфеля или индекса, доля или процент за период
$\operatorname{Cov}(R_i,R_m)$
ковариация доходности актива с рынком, квадрат доходности
$\operatorname{Var}(R_m)$
дисперсия доходности рынка, квадрат доходности

Условия применения

  • Доходности актива и рынка должны быть рассчитаны за одинаковые интервалы наблюдений.
  • Рыночный индекс должен быть выбран осмысленно для анализируемого актива.
  • Дисперсия рыночной доходности должна быть положительной.

Ограничения

  • Бета зависит от выбранного периода, частоты данных и рыночного индекса.
  • Коэффициент описывает линейную чувствительность и не учитывает нелинейные риски.
  • Бета не является полной мерой риска отдельной бумаги, потому что игнорирует специфический риск.

Подробное объяснение

Бета-коэффициент измеряет, насколько доходность актива линейно связана с доходностью рынка. Числитель показывает совместное движение актива и рынка, а знаменатель нормирует его на собственный разброс рыночной доходности. Поэтому beta можно читать как наклон регрессии доходности актива на доходность рынка.

Если beta равна 1, актив в среднем движется вместе с рынком в масштабе один к одному в рамках линейной модели. Если beta больше 1, доходность актива сильнее реагирует на рыночные изменения. Если beta меньше 1, реакция слабее. Отрицательная beta означает движение в противоположную сторону в среднем по наблюдениям.

Формула отделяет систематическую часть риска от полной волатильности. Две акции могут иметь похожее стандартное отклонение, но разную beta, если одна тесно связана с рынком, а другая движется в основном под влиянием собственных факторов. Поэтому beta важна именно в портфельном контексте.

В модели CAPM beta используется для связи ожидаемой доходности с рыночной риск-премией. Но сама формула beta является статистической оценкой по данным или параметром модели. Ее значение зависит от выбранного индекса, горизонта, частоты наблюдений и способа обработки выбросов.

Перед расчетом нужно убедиться, что доходности синхронизированы. Нельзя брать дневные доходности акции и месячные доходности индекса в одной ковариации. Также важно не смешивать доходности в процентах и долях без единообразия, хотя при одинаковом масштабе отношение сохранится.

Как пользоваться формулой

  1. Подготовьте ряд доходностей акции и рыночного индекса за одинаковые даты.
  2. Вычислите ковариацию доходностей акции и рынка.
  3. Вычислите дисперсию доходности рынка.
  4. Разделите ковариацию на дисперсию рынка.
  5. Интерпретируйте результат как линейную чувствительность к рынку.

Историческая справка

Бета-коэффициент стал ключевым понятием после развития модели оценки капитальных активов в 1960-х годах. Работы Уильяма Шарпа, Джона Линтнера, Яна Моссина и других исследователей связали ожидаемую доходность актива с систематическим риском, который нельзя устранить простой диверсификацией. В этом контексте beta стала мерой чувствительности актива к рыночному портфелю. Ее статистическая форма через ковариацию и дисперсию естественно следует из линейной регрессии и теории портфеля Марковица. Позже beta вошла в практику финансового анализа, оценки стоимости капитала и учебные курсы по инвестициям. Несмотря на критику CAPM и ограничения исторических оценок, коэффициент остается важным языком для обсуждения рыночной чувствительности.

Историческая линия формулы

Бета как элемент CAPM связана прежде всего с работами Уильяма Шарпа, Джона Линтнера и Яна Моссина, а также с портфельной теорией Марковица. Формула через ковариацию и дисперсию является статистической записью линейной чувствительности актива к рынку.

Пример

Дано: по историческим доходностям ковариация акции с рыночным индексом равна 0,00018, дисперсия доходности индекса равна 0,00012. Нужно найти бета-коэффициент. Подстановка: beta = Cov(R_i, R_m) / Var(R_m) = 0,00018 / 0,00012 = 1,5. Ответ: beta акции равна 1,5. Проверка: значение больше 1 означает, что в линейной модели акция в среднем чувствительнее к движениям рынка, чем сам индекс. Единицы сокращаются, потому что квадрат доходности делится на квадрат доходности, поэтому коэффициент безразмерный.

Частая ошибка

Частая ошибка - делить ковариацию на дисперсию самой акции, а не рынка. Вторая ошибка - считать beta мерой всей волатильности: актив с высокой индивидуальной волатильностью может иметь умеренную beta, если его движения слабо связаны с рынком. Третья ошибка - сравнивать beta, рассчитанные по разным индексам и периодам, как полностью одинаковые оценки. Еще одна ошибка - воспринимать beta как неизменную характеристику компании; в данных она меняется.

Практика

Задачи с решением

Beta больше единицы

Условие. Cov(R_i,R_m)=0,00024, Var(R_m)=0,00016. Найдите beta.

Решение. beta = 0,00024 / 0,00016 = 1,5.

Ответ. 1,5

Beta меньше единицы

Условие. Cov(R_i,R_m)=0,00006, Var(R_m)=0,00012. Найдите beta.

Решение. beta = 0,00006 / 0,00012 = 0,5.

Ответ. 0,5

Дополнительные источники

  • Sharpe. Capital Asset Prices, Journal of Finance, 1964
  • Lintner. The Valuation of Risk Assets, 1965
  • Bodie, Kane, Marcus. Investments, раздел CAPM and Beta

Связанные формулы

Финансы

Ожидаемая доходность портфеля

$E(R_p)=\sum_{i=1}^{n} w_i E(R_i)$

Ожидаемая доходность портфеля равна взвешенной сумме ожидаемых доходностей активов, где вес показывает долю каждого актива в общей стоимости портфеля.

Финансы

Дисперсия портфеля из двух активов

$\sigma_p^2=w_1^2\sigma_1^2+w_2^2\sigma_2^2+2w_1w_2\rho_{12}\sigma_1\sigma_2$

Дисперсия портфеля из двух активов показывает риск сочетания двух доходностей с учетом весов, индивидуальной волатильности и корреляции между активами.