Все формулы РФ

Финансы / Портфель и риск

Ожидаемая доходность портфеля

Ожидаемая доходность портфеля равна взвешенной сумме ожидаемых доходностей активов, где вес показывает долю каждого актива в общей стоимости портфеля.

Опубликовано: Обновлено:

Портфель и рискБазовые финансовые расчетыЕсть историческая справкаСтраницы с задачами и решениями

Формула

$$E(R_p)=\sum_{i=1}^{n} w_i E(R_i)$$

Обозначения

$E(R_p)$
ожидаемая доходность портфеля, доля единицы или процент
$w_i$
вес i-го актива в портфеле, доля общей стоимости
$E(R_i)$
ожидаемая доходность i-го актива, доля единицы или процент
$n$
число активов в портфеле, штук

Условия применения

  • Веса активов должны относиться к одной дате оценки портфеля и обычно в сумме давать 1.
  • Ожидаемые доходности всех активов должны быть заданы за один и тот же период.
  • Доходности подставляются в одинаковой форме: либо все в долях, либо все в процентах.

Ограничения

  • Формула считает только среднее ожидание и не показывает риск портфеля.
  • Ожидаемые доходности являются предположениями или статистическими оценками, поэтому результат зависит от исходной модели.
  • При кредитном плече, коротких позициях и производных инструментах веса могут быть отрицательными или превышать 1, что требует отдельной интерпретации.

Подробное объяснение

Ожидаемая доходность портфеля строится как средневзвешенная величина. Каждый актив вносит в общий результат не всю свою доходность, а только ту часть, которая соответствует его доле в портфеле. Поэтому вес w_i работает как коэффициент влияния актива на общий ожидаемый результат.

Линейность формулы следует из того, что стоимость портфеля является суммой стоимостей его частей. Если половина капитала находится в активе A, то ожидаемый вклад доходности A в портфель равен половине его ожидаемой доходности. Сумма таких вкладов по всем активам дает общий ожидаемый показатель.

При положительных весах, сумма которых равна 1, ожидаемая доходность портфеля лежит между минимальной и максимальной ожидаемой доходностью активов. Если появляются короткие позиции или заемные средства, это свойство может нарушаться: веса становятся отрицательными или сумма абсолютных позиций превышает капитал.

Формула важна как первый слой портфельного анализа. Она отвечает на вопрос о среднем ожидаемом результате, но ничего не говорит о разбросе возможных результатов. Для риска нужны дисперсия, ковариации, корреляции и показатели вроде коэффициента Шарпа или Сортино.

Перед расчетом полезно отдельно выписать период: месяц, год или квартал. Нельзя смешивать годовую ожидаемую доходность одного актива с месячной доходностью другого. Все оценки должны быть приведены к одной шкале времени.

Как пользоваться формулой

  1. Запишите список активов и их веса в портфеле.
  2. Проверьте, что веса выражены в долях и согласованы по дате.
  3. Для каждого актива умножьте вес на ожидаемую доходность.
  4. Сложите все взвешенные вклады.
  5. Проверьте, что период доходностей одинаков для всех активов.

Историческая справка

Идея взвешенной доходности портфеля существовала в практике инвестирования до появления современной портфельной теории: если капитал распределен между несколькими активами, общий результат естественно считать через доли вложений. Теоретическое значение формула получила в середине XX века, когда Гарри Марковиц описал портфель как сочетание ожидаемой доходности и риска. В статье 1952 года Portfolio Selection и последующих работах портфельная доходность стала одной из координат задачи выбора, а дисперсия - другой. С этого момента простая взвешенная сумма доходностей стала входом в более широкую модель: эффективная граница, диверсификация и связь между риском и ожидаемым результатом. В учебных курсах формула обычно идет перед расчетом дисперсии портфеля.

Пример

Дано: портфель состоит из трех активов. Вес актива A равен 50%, ожидаемая доходность 8%; вес актива B равен 30%, ожидаемая доходность 12%; вес актива C равен 20%, ожидаемая доходность 4%. Подстановка в долях: E(R_p) = 0,50*0,08 + 0,30*0,12 + 0,20*0,04 = 0,040 + 0,036 + 0,008 = 0,084. Ответ: ожидаемая доходность портфеля равна 8,4% за выбранный период. Проверка: веса дают 0,50 + 0,30 + 0,20 = 1, поэтому вся стоимость распределена между активами. Итог лежит между минимальной и максимальной ожидаемой доходностью компонентов, что логично для положительных весов.

Частая ошибка

Частая ошибка - усреднять доходности без весов, хотя актив с долей 50% влияет сильнее, чем актив с долей 10%. Вторая ошибка - складывать проценты и доли вместе, например 0,5*8 вместо 0,5*0,08 или 50%*8%. Третья ошибка - забывать проверить сумму весов. Еще одна ошибка - считать ожидаемую доходность полной характеристикой портфеля: два портфеля с одинаковым E(R_p) могут иметь совершенно разный риск.

Практика

Задачи с решением

Два актива

Условие. 60% портфеля имеет ожидаемую доходность 10%, 40% - 5%. Найдите E(R_p).

Решение. E(R_p) = 0,6*0,10 + 0,4*0,05 = 0,06 + 0,02 = 0,08.

Ответ. 8%

Проверка веса

Условие. Три веса равны 0,2, 0,3 и 0,5, доходности 6%, 9% и 12%. Найдите E(R_p).

Решение. E(R_p) = 0,2*0,06 + 0,3*0,09 + 0,5*0,12 = 0,012 + 0,027 + 0,060 = 0,099.

Ответ. 9,9%

Дополнительные источники

  • Markowitz. Portfolio Selection, Journal of Finance, 1952
  • Bodie, Kane, Marcus. Investments, раздел Portfolio Theory
  • OpenStax Principles of Finance, раздел Portfolio Return

Связанные формулы

Финансы

Дисперсия портфеля из двух активов

$\sigma_p^2=w_1^2\sigma_1^2+w_2^2\sigma_2^2+2w_1w_2\rho_{12}\sigma_1\sigma_2$

Дисперсия портфеля из двух активов показывает риск сочетания двух доходностей с учетом весов, индивидуальной волатильности и корреляции между активами.

Финансы

Бета-коэффициент акции к рыночному портфелю

$\beta_i=\frac{\operatorname{Cov}(R_i,R_m)}{\operatorname{Var}(R_m)}$

Бета-коэффициент акции показывает чувствительность доходности актива к доходности рыночного портфеля через отношение ковариации с рынком к дисперсии рынка.