Все формулы РФ

Математика / Численное интегрирование

Двухузловая квадратура Гаусса—Чебышёва первого рода

Двухузловая квадратура Гаусса—Чебышёва приближает интеграл на отрезке [−1; 1], если в подынтегральном выражении уже есть вес 1/√(1−x²). Она берёт значения функции в симметричных точках ±1/√2 и умножает их сумму на π/2.

Опубликовано: Обновлено:

Численное интегрированиеСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справкаРучной расчет

Формула

$$\int_{-1}^{1}\frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}}\,dx\approx\frac{\pi}{2}\left[f\left(-\frac1{\sqrt2}\right)+f\left(\frac1{\sqrt2}\right)\right]$$
Схема Два симметричных узла Чебышёва
Длина отрезка над узлом показывает весπ/2−1/√2π/21/√2x

Одинаковые веса дают точное сокращение вклада нечётной функции.

Обозначения

$f(x)$
функция, значения которой берут в квадратурных узлах, зависит от задачи
$x$
безразмерная переменная на отрезке [−1; 1], —
$x_1,x_2$
узлы −1/√2 и 1/√2, —
$w_1,w_2$
одинаковые квадратурные веса π/2, —

Условия применения

Интеграл должен иметь вид ∫₋¹¹ f(x)/√(1−x²) dx, а f должна быть определена в точках ±1/√2. Вес не является необязательной частью записи: он задаёт меру, относительно которой выбраны узлы и веса. Для обычного интеграла ∫₋¹¹ f(x) dx это правило напрямую не применяют. Если исходный отрезок [a;b], его сначала линейно переводят на [−1;1], одновременно корректно преобразуя весь подынтегральный множитель.

Ограничения

Правило точно для взвешенного интеграла, когда f — многочлен степени не выше 3, но не обещает малую ошибку для произвольной функции. Внутренняя особенность требует отдельного анализа сходимости и разбиения интервала. При бесконечном значении f в узле сумма не определена. При сильной асимметрии, разрыве или быстром изменении f двух узлов обычно мало. Нельзя заменить вес 1/√(1−x²) на √(1−x²): это уже другая, чебышёвская квадратура второго рода.

Подробное объяснение

Здесь интегрируют не функцию f по обычной длине dx, а f с весом 1/√(1−x²). Вес возрастает у концов −1 и 1, однако его интеграл конечен и равен π. Поэтому обе точки имеют одинаковый вес π/2: правило должно точно воспроизводить интеграл постоянной функции, то есть π.

Узлы выводятся из многочлена Чебышёва первого рода T₂(x)=2x²−1. Его нули удовлетворяют 2x²−1=0, откуда x=±1/√2. В теории гауссовых квадратур n узлов выбирают как нули ортогонального многочлена степени n для данного веса. Ортогональность Tₙ именно с весом (1−x²)^−1/2 объясняет, почему эта пара узлов относится к данному интегралу, а не к невзвешенному правилу Гаусса—Лежандра.

Веса найдём без таблицы. Симметрия веса и узлов даёт w₁=w₂=w. Точность для константы требует 2w=∫₋¹¹dx/√(1−x²)=π, значит w=π/2. Проверка для x²: точное значение после подстановки x=sin θ равно ∫₋π⁄²π⁄² sin²θ dθ=π/2. Квадратура даёт (π/2)(1/2+1/2)=π/2. Нечётные x и x³ обнуляются симметрией, поэтому правило точно на всех степенях до третьей.

Подстановка x=cos θ превращает взвешенный интеграл в ∫₀^π f(cos θ)dθ. В этом виде точки ±1/√2 соответствуют θ=π/4 и 3π/4, а формула — средней двух равноотстоящих значений по углу, умноженной на длину интервала π. Это также показывает, почему конечные точки не нужно подставлять: особенность веса уже учтена сменой переменной.

Для контроля результата полезно отделять функцию f от веса. Например, при f(x)=1+x² точное значение равно π+π/2=3π/2. В узлах f=3/2, поэтому формула даёт (π/2)(3/2+3/2)=3π/2. Если вместо f подставить уже взвешенное выражение, вес будет учтён дважды и ответ станет неверным.

Как пользоваться формулой

  1. Сначала приведите задачу к виду интеграла от −1 до 1, где множитель при f(x) точно равен 1/√(1−x²).
  2. Вычислите оба узла: x₁=−1/√2≈−0,7071 и x₂=1/√2≈0,7071; концами отрезка их не заменяют.
  3. Найдите только значения f(x₁) и f(x₂), не включая в них вес, который уже заложен в квадратурных весах.
  4. Сложите эти два значения и умножьте сумму на π/2; это и есть двухузловое приближение интеграла.
  5. Если f — многочлен степени до трёх, сравните ответ с точным интегралом как проверку; иначе оцените устойчивость более узловым правилом.

Историческая справка

Гауссовы квадратуры выросли из идеи выбирать точки не заранее, а так, чтобы при заданном числе значений функции получить наибольшую возможную алгебраическую точность. В работе Карла Фридриха Гаусса, представленной в 1814 году, рассматривалось приближённое интегрирование с оптимально выбранными абсциссами; позднейшая теория связала эти абсциссы с нулями ортогональных многочленов. Поэтому фамилия Гаусса в названии описывает принцип выбора узлов, а не отдельную формулу именно с чебышёвским весом.

Многочлены, названные в честь Пафнутия Чебышёва, образуют систему, ортогональную на [−1;1] с весом (1−x²)^−1/2. В современной справочной записи этот факт задаёт семейство квадратур Гаусса—Чебышёва первого рода. Для n=2 нули T₂ сразу дают ±1/√2, а симметрия определяет одинаковые веса. Такая запись — результат объединения гауссовой идеи с теорией ортогональных многочленов, а не основание приписывать двухузловый частный случай одному автору.

В DLMF правило рассматривается в общем классе гауссовых квадратур наряду с формулами для других весов. Различают их не по количеству узлов, а прежде всего по весу и области интегрирования. Современная нормировка Tₙ(cos θ)=cos(nθ), принятая в DLMF, делает переход к угловой переменной и расположение узлов прозрачными.

Историческая линия формулы

Корректная атрибуция двойная: гауссов принцип оптимальной квадратуры восходит к работе Гаусса 1814 года, а чебышёвская часть относится к полиномам, ортогональным с весом (1−x²)^−1/2. Двухузловая запись получается как современный частный случай общей теории; исторически неверно называть её самостоятельным открытием одного из двух учёных.

Пример

Вычислим I=∫₋¹¹ (1+x²)/√(1−x²) dx двухузловой формулой и проверим точность. Здесь f(x)=1+x², а вес уже вынесен в знаменатель. В обоих узлах x²=1/2, следовательно f(−1/√2)=f(1/√2)=3/2. Подстановка даёт I≈(π/2)(3/2+3/2)=3π/2≈4,71239. Проверим независимо заменой x=sin θ: I=∫₋π⁄²π⁄²(1+sin²θ)dθ=π+π/2=3π/2. Совпадение не случайно: f имеет степень 2, а правило точно до степени 3. Единиц у I нет, потому что переменная и функция в этом примере безразмерны; в прикладной задаче результат наследует единицы f.

Частая ошибка

Первая ошибка — применять формулу к ∫f(x)dx без веса: узлы ±1/√2 тогда остаются, но веса π/2 уже не соответствуют задаче. Вторая — подставлять f(x)/√(1−x²) в правую часть; вес учитывается второй раз и особенно искажает результат. Третья — считать правило точным для любой гладкой функции: гарантия степени 3 относится к f, а не ко всему взвешенному подынтегральному выражению. Наконец, нельзя путать этот вес с √(1−x²): у квадратуры второго рода и узлы, и веса другие.

Практика

Задачи с решением

Точный нечётный член

Условие. Найдите квадратурное значение ∫₋¹¹ x³/√(1−x²) dx.

Решение. В узлах получаем (−1/√2)³ и (1/√2)³. Их сумма равна нулю, поэтому после умножения на π/2 результат не меняется.

Ответ. 0; это совпадает с точным интегралом нечётной функции на симметричном отрезке.

Оценка для экспоненты

Условие. По двухузловой формуле оцените ∫₋¹¹ eˣ/√(1−x²) dx.

Решение. Подставляем f(±1/√2): I₂=(π/2)(e^(−1/√2)+e^(1/√2))=π cosh(1/√2). Приближённо cosh(0,7071)≈1,26059.

Ответ. I₂≈3,96027. Это приближение, так как eˣ не является многочленом степени не выше 3.

Дополнительные источники

  • https://dlmf.nist.gov/3.5
  • https://dlmf.nist.gov/18.3
  • https://dlmf.nist.gov/18.16
  • https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235999628

Связанные формулы

Математика

Двухузловая квадратура Гаусса—Якоби с весом 1−x

$\int_{-1}^{1}(1-x)f(x)\,dx\approx\left(1+\frac{2}{3\sqrt6}\right)f\left(\frac{-1-\sqrt6}{5}\right)+\left(1-\frac{2}{3\sqrt6}\right)f\left(\frac{-1+\sqrt6}{5}\right)$

Эта двухузловая формула Гаусса—Якоби приближает интеграл ∫₋¹¹(1−x)f(x)dx. Вес сильнее учитывает левую часть отрезка, поэтому узлы и веса не симметричны: правило нельзя заменить формулой Гаусса—Лежандра.

Математика

Двухузловая квадратура Гаусса—Радау с левым концом

$\int_{-1}^{1}f(x)\,dx\approx\frac12 f(-1)+\frac32 f\left(\frac13\right)$

Двухузловая квадратура Гаусса—Радау для обычного интеграла на [−1;1] обязательно использует левый конец −1. Второй узел равен 1/3, а веса равны 1/2 и 3/2; правило точно для многочленов до степени 2.

Математика

Четырёхузловая квадратура Гаусса—Лобатто

$\int_{-1}^{1}f(x)\,dx\approx\frac16f(-1)+\frac56f\left(-\frac1{\sqrt5}\right)+\frac56f\left(\frac1{\sqrt5}\right)+\frac16f(1)$

Четырёхузловая квадратура Гаусса—Лобатто использует оба конца отрезка и два внутренних симметричных узла ±1/√5. Весам 1/6, 5/6, 5/6, 1/6 соответствует точность для многочленов до степени 5.

Математика

Квадратура Гаусса—Лежандра с двумя узлами

$G_2=\frac{b-a}{2}\left[f\!\left(m-\frac{b-a}{2\sqrt3}\right)+f\!\left(m+\frac{b-a}{2\sqrt3}\right)\right],\quad m=\frac{a+b}{2}$

Двухузловая квадратура Гаусса—Лежандра вычисляет функцию в двух специально выбранных внутренних точках. На конечном отрезке с единичным весом она точно интегрирует любой многочлен степени не выше трёх.

Математика

Квадратура Гаусса—Лагерра: интеграл с весом exp(−x)

$\int_0^\infty e^{-x}f(x)\,dx\approx\frac{2+\sqrt2}{4}f(2-\sqrt2)+\frac{2-\sqrt2}{4}f(2+\sqrt2)$

Двухузловая квадратура Гаусса—Лагерра приближает интеграл на положительной полуоси с весом e^(−x). Она точно интегрирует полиномы f степени не выше трёх.

Математика

Квадратура Кленшоу—Кёртиса по пяти косинусным узлам

$\int_{-1}^{1}f(x)\,dx\approx\frac{f(-1)+f(1)}{15}+\frac8{15}\left[f(-1/\sqrt2)+f(1/\sqrt2)\right]+\frac45f(0)$

Квадратура Кленшоу—Кёртиса интегрирует интерполяционный полином на косинусной сетке. Пятиузловая запись включает концы отрезка и точно работает для полиномов степени до пяти.