Математика / Численное интегрирование

Двухузловая квадратура Гаусса—Радау с левым концом

Двухузловая квадратура Гаусса—Радау для обычного интеграла на [−1;1] обязательно использует левый конец −1. Второй узел равен 1/3, а веса равны 1/2 и 3/2; правило точно для многочленов до степени 2.

Опубликовано: 10 ноября 2026 г.Обновлено: 10 ноября 2026 г.

Формула

\int_{-1}^{1}f(x)\,dx\approx\frac12 f(-1)+\frac32 f\left(\frac13\right)

Схема Левый конец закреплён

У крайней точки вес 1/2. Внутренний узел расположен правее центра и имеет вес 3/2.

Обозначения

$f(x)$: интегрируемая функция, зависит от задачи
$x₁$: закреплённый левый узел −1, —
$x₂$: свободный узел 1/3, —
$w₁,w₂$: веса 1/2 и 3/2, —

Условия применения

Рассматривается невзвешенный интеграл на [−1;1], причём значение f(−1) доступно. После переноса на [a;b] левым закреплённым узлом будет a, а общий множитель (b−a)/2 обязателен. Функция должна быть конечной в −1 и 1/3.

Ограничения

Это не правило трапеций: второй узел не равен правому концу. Оно точно только до второй степени, поскольку одна абсцисса закреплена. Не следует применять его к интегралу с весом или ожидать точности для кубического многочлена. При закреплении правого конца узлы зеркально меняются.

Подробное объяснение

Радау-квадратура отличается от свободной гауссовой тем, что один узел предписан заранее. В этом варианте он равен −1; оставшаяся свобода используется для выбора x=1/3 и весов так, чтобы сохранить максимально возможную точность.

Пусть веса равны A и B, а второй узел c пока неизвестен. Точность для 1, x и x² даёт A+B=2, −A+Bc=0 и A+Bc²=2/3. После исключения A получаем B(1+c)=2 и B(c²−1)=−4/3. Делим второе равенство на первое, откуда c−1=−2/3. Тогда c=1/3, B=3/2, A=1/2.

Кубический тест показывает границу: квадратура даёт −1/2+(3/2)(1/27)=−4/9, а точный интеграл x³ равен нулю. Значит, третья степень уже не гарантирована.

На произвольном [a;b] сначала применяют x=(2t−a−b)/(b−a). Закреплённая точка t=a соответствует x=−1, а внутренний узел становится a+(2/3)(b−a).

Такое правило ценно не числом узлов, а возможностью включить граничное измерение в формулу без отказа от оптимального внутреннего узла. В отличие от простого усреднения концов, оно использует внутреннюю информацию со смещением к незакреплённой стороне.

Как пользоваться формулой

Перенесите область к [−1;1] или убедитесь, что интеграл уже записан в этой нормировке.
Возьмите значение f(−1) в закреплённом левом конце и значение f(1/3) во внутреннем узле.
Умножьте эти значения соответственно на 1/2 и 3/2, затем сложите результаты.
Для [a;b] умножьте сумму на (b−a)/2 и замените внутренний узел на a+2(b−a)/3.
Проверьте правило на константе, линейной или квадратичной функции перед использованием в расчёте.

Историческая справка

В 1880 году Родольф Радау опубликовал исследование формул приближённого вычисления определённых интегралов. Его имя закрепилось за квадратурами с одним предписанным концом. Их смысл — совместить граничное условие с выбором остальных узлов по критерию алгебраической точности. Это родственная, но не тождественная свободной гауссовой конструкции задача.

В современной теории такие правила строятся через ортогональные многочлены и условия точности моментов. DLMF излагает общую связь квадратурных узлов с ортогональными системами; частный двухузловый вывод можно выполнить непосредственно по моментам.

Имя Радау указывает на историческую ветвь краевых квадратур. Для учебного правила важнее явно назвать закреплённый конец, поскольку без этого формула неоднозначна.

Историческая линия формулы

Название связывают с Радау и развитием квадратур с обязательной граничной точкой. Данная двухузловая запись является современным нормированным частным случаем, поэтому не требует более сильной персональной атрибуции или указания одной даты открытия.

Пример

Пусть I=∫₋¹¹(1+x+x²)dx. Точно I=2+0+2/3=8/3. По Радау f(−1)=1, f(1/3)=1+1/3+1/9=13/9. Поэтому I≈(1/2)·1+(3/2)·13/9=1/2+13/6=8/3. Функция квадратична, поэтому совпадение точное. Если добавить x³, квадратурное значение изменится на −4/9, хотя точный вклад нечётного члена равен нулю; это полезная проверка предела метода. Сумма весов равна 2, поэтому постоянная часть также нормирована правильно; единицы результата остаются единицами функции, умноженными на единицу длины интервала. Для численного контроля 8/3≈2,66667 с обеих сторон равенства.

Частая ошибка

Не ставьте второй узел в +1: это уже формула трапеций. Не путайте вес 3/2 с координатой 1/3. При переносе на [a;b] нельзя забывать множитель длины. Также неверно обещать точность третьей степени: закреплённый узел уменьшает её по сравнению с двухточечной Гаусса—Лежандра.

Практика

Задачи с решением

Квадратичный тест

Условие. Найдите ∫₋¹¹x²dx по Радау.

Решение. (1/2)·1+(3/2)·(1/9)=2/3.

Ответ. 2/3.

Интервал [0;3]

Условие. Где находится внутренний узел после переноса правила на [0;3]?

Решение. t=a+2(b−a)/3=0+2.

Ответ. t=2.

Дополнительные источники

https://dlmf.nist.gov/3.5
https://dlmf.nist.gov/18.3
https://dlmf.nist.gov/18.16
https://engineering.yale.edu/application/files/9517/3685/9876/TR1512.pdf
https://www.numdam.org/item/JMPA_1880_3_6__283_0/

Связанные формулы

Математика

Двухузловая квадратура Гаусса—Чебышёва первого рода

$\int_{-1}^{1}\frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}}\,dx\approx\frac{\pi}{2}\left[f\left(-\frac1{\sqrt2}\right)+f\left(\frac1{\sqrt2}\right)\right]$

Двухузловая квадратура Гаусса—Чебышёва приближает интеграл на отрезке [−1; 1], если в подынтегральном выражении уже есть вес 1/√(1−x²). Она берёт значения функции в симметричных точках ±1/√2 и умножает их сумму на π/2.

Математика

Двухузловая квадратура Гаусса—Якоби с весом 1−x

$\int_{-1}^{1}(1-x)f(x)\,dx\approx\left(1+\frac{2}{3\sqrt6}\right)f\left(\frac{-1-\sqrt6}{5}\right)+\left(1-\frac{2}{3\sqrt6}\right)f\left(\frac{-1+\sqrt6}{5}\right)$

Эта двухузловая формула Гаусса—Якоби приближает интеграл ∫₋¹¹(1−x)f(x)dx. Вес сильнее учитывает левую часть отрезка, поэтому узлы и веса не симметричны: правило нельзя заменить формулой Гаусса—Лежандра.

Математика

Четырёхузловая квадратура Гаусса—Лобатто

$\int_{-1}^{1}f(x)\,dx\approx\frac16f(-1)+\frac56f\left(-\frac1{\sqrt5}\right)+\frac56f\left(\frac1{\sqrt5}\right)+\frac16f(1)$

Четырёхузловая квадратура Гаусса—Лобатто использует оба конца отрезка и два внутренних симметричных узла ±1/√5. Весам 1/6, 5/6, 5/6, 1/6 соответствует точность для многочленов до степени 5.

Математика

Составная формула трапеций для вычисления интеграла

$T_n=h\left[\frac{f(a)+f(b)}2+\sum_{i=1}^{n-1}f(a+ih)\right],\quad h=\frac{b-a}{n}$

Составная формула трапеций приближает определённый интеграл суммой площадей под линейными отрезками между соседними узлами. Концевые значения получают половинный вес.

Математика

Квадратура Гаусса—Лежандра с двумя узлами

$G_2=\frac{b-a}{2}\left[f\!\left(m-\frac{b-a}{2\sqrt3}\right)+f\!\left(m+\frac{b-a}{2\sqrt3}\right)\right],\quad m=\frac{a+b}{2}$

Двухузловая квадратура Гаусса—Лежандра вычисляет функцию в двух специально выбранных внутренних точках. На конечном отрезке с единичным весом она точно интегрирует любой многочлен степени не выше трёх.

Математика

Формула Симпсона: интеграл по параболическим дугам

$S_n=\frac h3\left[f_0+f_n+4\!\sum_{\substack{i=1\\i\text{ нечётное}}}^{n-1}f_i+2\!\sum_{\substack{i=2\\i\text{ чётное}}}^{n-2}f_i\right]$

Составная формула Симпсона объединяет соседние промежутки попарно и заменяет функцию параболой через три узла. Для равномерной сетки число промежутков должно быть чётным.