Математика / Численное интегрирование

Четырёхузловая квадратура Гаусса—Лобатто

Четырёхузловая квадратура Гаусса—Лобатто использует оба конца отрезка и два внутренних симметричных узла ±1/√5. Весам 1/6, 5/6, 5/6, 1/6 соответствует точность для многочленов до степени 5.

Опубликовано: 10 ноября 2026 г.Обновлено: 10 ноября 2026 г.

Формула

\int_{-1}^{1}f(x)\,dx\approx\frac16f(-1)+\frac56f\left(-\frac1{\sqrt5}\right)+\frac56f\left(\frac1{\sqrt5}\right)+\frac16f(1)

Схема Четыре узла Лобатто

Обе крайние точки имеют меньший вес. Внутренние узлы симметричны относительно нуля.

Обозначения

$f(x)$: интегрируемая функция, зависит от задачи
$x₁,x₄$: концы −1 и 1, —
$x₂,x₃$: внутренние узлы ±1/√5, —
$wᵢ$: веса 1/6, 5/6, 5/6, 1/6, —

Условия применения

Это правило для обычного интеграла ∫₋¹¹f(x)dx с доступными значениями на обоих концах. Функция должна быть конечной в четырёх узлах. Внутренние узлы являются нулями производной полинома Лежандра P₃, что фиксирует именно четырёхузловый вариант.

Ограничения

Не смешивайте правило с трёхузловым Лобатто, которое совпадает с Симпсоном. Гарантированная точность ограничена степенью 5; для x⁶ уже появляется ошибка. Для весовых интегралов и разрывов нужны другие формулы или разбиение интервала. На [a;b] результат обязательно умножается на (b−a)/2.

Подробное объяснение

Лобатто-квадратура закрепляет оба конца отрезка. При четырёх точках остаются две внутренние абсциссы; симметрия невзвешенного интеграла делает их противоположными. Они равны ±1/√5, а не ±1/√3, как у двухточечной гауссовой формулы.

Внутренние узлы получаются из P₃′(x)=0, где P₃=(5x³−3x)/2. Производная (15x²−3)/2 обращается в ноль при x=±1/√5. Крайние точки уже предписаны условием Лобатто.

Симметрия задаёт крайний вес A и внутренний B. Из точности для 1 получаем 2A+2B=2, а для x²: 2A+2B/5=2/3. Решение A=1/6, B=5/6. Эти значения также обеспечивают точность x⁴; нечётные степени до пятой обнуляются симметрией.

Проверка на x⁶ показывает предел: квадратура даёт 2/6+2·(5/6)/125=26/75, а точное значение равно 2/7. Различие не ошибка округления, а ожидаемое окончание степени точности.

По сравнению с Симпсоном правило использует больше информации внутри интервала и сохраняет значения на границах. Это удобно для табличных данных, но не отменяет необходимости оценивать гладкость функции.

Как пользоваться формулой

Убедитесь, что нужен обычный интеграл по dx на [−1;1] и доступны значения функции на концах.
Вычислите f(−1), f(−1/√5), f(1/√5) и f(1), сохранив попарную симметрию узлов.
Умножьте крайние значения на 1/6, а каждое внутреннее значение в симметричной паре — на 5/6.
Сложите четыре вклада; на интервале [a;b] предварительно перенесите узлы и домножьте итог на (b−a)/2.
Проверьте численной подстановкой реализацию на x⁴, для которого ответ должен быть ровно 2/5, и не используйте x⁶ как тест точности правила.

Историческая справка

В курсе интегрального исчисления Рехуэла Лобатто середины XIX века описано квадратурное построение с закреплёнными концами. В изложении Эрнста Хайрера эта формула датируется 1852 годом. В отличие от гауссовых правил без закреплённых концов, часть степеней свободы расходуется на выполнение этого требования.

Современное построение связывает внутренние узлы с производной полинома Лежандра. Для четырёх точек это P₃′, поэтому вычисление ±1/√5 прозрачно и не зависит от табличного запоминания.

В учебной литературе правило часто сравнивают с Симпсоном, поскольку трёхточечный случай Лобатто с ним совпадает. Четырёхточечный случай качественно иной: он имеет два внутренних узла и более высокую степень точности. Такое различение сохраняют и современные таблицы численного интегрирования, чтобы не смешивать правила лишь по наличию концов.

Историческая линия формулы

Название относится к традиции квадратур Лобатто с двумя включёнными концами. Формула с четырьмя узлами — стандартный современный частный случай, выводимый из полиномов Лежандра; не следует выдавать его за отдельную историческую формулу Симпсона.

Пример

Вычислим I=∫₋¹¹(1+x²+x⁴)dx. Точно I=2+2/3+2/5=46/15. В концах f(±1)=1+1+1=3. Во внутренних узлах x²=1/5, x⁴=1/25, поэтому f(±1/√5)=1+1/5+1/25=31/25. Квадратура даёт (1/6)(3+3)+(5/6)(31/25+31/25)=1+31/15=46/15. Совпадение точное, так как степень функции равна 4. Все величины безразмерны; при масштабе переменной коэффициент переноса обязателен. Дополнительно 1/6+5/6+5/6+1/6=2, поэтому постоянный член интегрируется правильно. Численно 46/15≈3,06667; оба способа дают одно и то же значение без округления исходных дробей.

Частая ошибка

Самая частая ошибка — подменить внутренние ±1/√5 точками ±1/√3 или нулём. Нельзя давать каждому из четырёх узлов вес 1/2: веса различаются. Не называйте правило Симпсоном: у него три узла и степень 3. Также не проверяйте обещанную точность на x⁶ — этот тест должен показать ненулевую ошибку.

Практика

Задачи с решением

Четвёртая степень

Условие. Найдите ∫₋¹¹x⁴dx по Лобатто.

Решение. Края дают 1/3, внутренние: 2·(5/6)·(1/25)=1/15; сумма 2/5.

Ответ. 2/5.

Шестая степень

Условие. Какое значение даёт правило для ∫₋¹¹x⁶dx?

Решение. 1/3+2·(5/6)·(1/125)=26/75.

Ответ. 26/75; точное значение 2/7, поэтому правило уже не точно.

Дополнительные источники

https://dlmf.nist.gov/3.5
https://dlmf.nist.gov/18.3
https://dlmf.nist.gov/18.16
https://engineering.yale.edu/application/files/9517/3685/9876/TR1512.pdf
https://www.unige.ch/~hairer/poly/chap1.pdf

Связанные формулы

Математика

Двухузловая квадратура Гаусса—Чебышёва первого рода

$\int_{-1}^{1}\frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}}\,dx\approx\frac{\pi}{2}\left[f\left(-\frac1{\sqrt2}\right)+f\left(\frac1{\sqrt2}\right)\right]$

Двухузловая квадратура Гаусса—Чебышёва приближает интеграл на отрезке [−1; 1], если в подынтегральном выражении уже есть вес 1/√(1−x²). Она берёт значения функции в симметричных точках ±1/√2 и умножает их сумму на π/2.

Математика

Двухузловая квадратура Гаусса—Якоби с весом 1−x

$\int_{-1}^{1}(1-x)f(x)\,dx\approx\left(1+\frac{2}{3\sqrt6}\right)f\left(\frac{-1-\sqrt6}{5}\right)+\left(1-\frac{2}{3\sqrt6}\right)f\left(\frac{-1+\sqrt6}{5}\right)$

Эта двухузловая формула Гаусса—Якоби приближает интеграл ∫₋¹¹(1−x)f(x)dx. Вес сильнее учитывает левую часть отрезка, поэтому узлы и веса не симметричны: правило нельзя заменить формулой Гаусса—Лежандра.

Математика

Двухузловая квадратура Гаусса—Радау с левым концом

$\int_{-1}^{1}f(x)\,dx\approx\frac12 f(-1)+\frac32 f\left(\frac13\right)$

Двухузловая квадратура Гаусса—Радау для обычного интеграла на [−1;1] обязательно использует левый конец −1. Второй узел равен 1/3, а веса равны 1/2 и 3/2; правило точно для многочленов до степени 2.

Математика

Формула Симпсона: интеграл по параболическим дугам

$S_n=\frac h3\left[f_0+f_n+4\!\sum_{\substack{i=1\\i\text{ нечётное}}}^{n-1}f_i+2\!\sum_{\substack{i=2\\i\text{ чётное}}}^{n-2}f_i\right]$

Составная формула Симпсона объединяет соседние промежутки попарно и заменяет функцию параболой через три узла. Для равномерной сетки число промежутков должно быть чётным.

Математика

Квадратура Гаусса—Лежандра с двумя узлами

$G_2=\frac{b-a}{2}\left[f\!\left(m-\frac{b-a}{2\sqrt3}\right)+f\!\left(m+\frac{b-a}{2\sqrt3}\right)\right],\quad m=\frac{a+b}{2}$

Двухузловая квадратура Гаусса—Лежандра вычисляет функцию в двух специально выбранных внутренних точках. На конечном отрезке с единичным весом она точно интегрирует любой многочлен степени не выше трёх.

Математика

Составная формула трапеций для вычисления интеграла

$T_n=h\left[\frac{f(a)+f(b)}2+\sum_{i=1}^{n-1}f(a+ih)\right],\quad h=\frac{b-a}{n}$

Составная формула трапеций приближает определённый интеграл суммой площадей под линейными отрезками между соседними узлами. Концевые значения получают половинный вес.