Все формулы РФ

Математика / Численное интегрирование

Двухузловая квадратура Гаусса—Якоби с весом 1−x

Эта двухузловая формула Гаусса—Якоби приближает интеграл ∫₋¹¹(1−x)f(x)dx. Вес сильнее учитывает левую часть отрезка, поэтому узлы и веса не симметричны: правило нельзя заменить формулой Гаусса—Лежандра.

Опубликовано: Обновлено:

Численное интегрированиеСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справкаДиагностика условийРучной расчет

Формула

$$\int_{-1}^{1}(1-x)f(x)\,dx\approx\left(1+\frac{2}{3\sqrt6}\right)f\left(\frac{-1-\sqrt6}{5}\right)+\left(1-\frac{2}{3\sqrt6}\right)f\left(\frac{-1+\sqrt6}{5}\right)$$
Схема Узлы и веса для асимметричного веса
Длина отрезка над узлом показывает вес1,272−0,6900,7280,290x

Больший вес у левого узла, где подынтегральный множитель 1−x выше.

Обозначения

$f(x)$
функция в квадратурных узлах, зависит от задачи
$x$
переменная на [−1;1], —
$x₁,x₂$
узлы (−1∓√6)/5, —
$w₁,w₂$
веса 1±2/(3√6), —

Условия применения

Интеграл обязан иметь именно вес (1−x) на отрезке [−1;1]. Функция f должна быть определена в двух узлах; дополнительной внутренней особенности быть не должно. Параметры Якоби здесь фиксированы: α=1, β=0 при соглашении веса (1−x)^α(1+x)^β.

Ограничения

При обычном интеграле без веса формула неприменима. Точность до степени 3 относится к f, а не к произведению (1−x)f. Если веса или узлы округлить грубо, точность на низких степенях теряется. Для обратного веса 1+x узлы и веса меняются зеркально, а не остаются теми же.

Подробное объяснение

Несущественная на вид разница с симметричным весом меняет квадратуру. Вес 1−x велик около −1 и равен нулю в x=1, поэтому левый узел получает больший коэффициент. Это корректирует интеграл за счёт геометрии меры, а не за счёт произвольной настройки формулы.

Для α=1, β=0 полином Якоби второй степени пропорционален 5x²+2x−1. Его нули x₁=(−1−√6)/5 и x₂=(−1+√6)/5 дают гауссовы абсциссы. В отличие от чебышёвской пары, их сумма равна −2/5, поэтому симметрии вокруг нуля нет.

Веса можно восстановить по постоянной и x. Из ∫(1−x)dx=2 и ∫x(1−x)dx=−2/3 получаем w₁+w₂=2 и w₁x₁+w₂x₂=−2/3. Решение даёт 1±2/(3√6). Ортогональность полинома гарантирует точность ещё и для x²,x³.

Например, для f=1+x правая часть должна дать ∫(1−x)(1+x)dx=4/3. Подстановка в два узла действительно даёт 4/3. Если поменять веса местами, линейная проверка сразу выявит ошибку.

Семейство Якоби объединяет многие частные правила: при других α и β меняются и крайовые особенности, и распределение узлов. Поэтому параметры веса следует указывать вместе с названием квадратуры.

Как пользоваться формулой

  1. Проверьте, что область интегрирования уже равна [−1;1], а вес записан как 1−x перед функцией f.
  2. Вычислите x₁=(−1−√6)/5≈−0,68990 и x₂=(−1+√6)/5≈0,28990 без перестановки индексов.
  3. Найдите f(x₁) и f(x₂), не домножая значения на 1−x: этот множитель уже вошёл в веса.
  4. Умножьте первое значение на 1+2/(3√6), второе на 1−2/(3√6), затем сложите результаты.
  5. Для полинома степени до трёх проверьте ответ обычным интегрированием произведения (1−x)f(x).

Историческая справка

Квадратуры Гаусса получили имя по идее выбирать узлы так, чтобы фиксированное число значений функции давало максимально возможную степень точности. Эту идею Гаусс представил в 1814 году; современное доказательство обычно формулируют через ортогональные полиномы.

Семейство полиномов Якоби описывает вес (1−x)^α(1+x)^β и включает несколько более известных симметричных случаев. Название квадратуры Гаусса—Якоби означает соединение гауссовой конструкции с этой системой полиномов, а не отдельную историческую публикацию данной пары чисел.

Стандартные справочные формулы DLMF фиксируют нормировки полиномов и их веса. В численном анализе это важно: разные соглашения о перестановке α и β меняют направление асимметрии.

Историческая линия формулы

Принцип гауссовой квадратуры восходит к Гауссу; полиномы Якоби названы в честь Карла Якоби. Конкретное двухузловое правило для α=1, β=0 — современный частный случай общей теории, поэтому его не следует представлять как самостоятельное открытие одного автора.

Пример

Найдём I=∫₋¹¹(1−x)(1+x)dx. Здесь f(x)=1+x. Точный расчёт даёт ∫₋¹¹(1−x²)dx=[x−x³/3]₋¹¹=4/3. По квадратуре x₁≈−0,68990, x₂≈0,28990; веса примерно 1,27217 и 0,72783. Подстановка (1,27217)(0,31010)+(0,72783)(1,28990) даёт 1,33333. Совпадение ожидаемо, потому что f линейна. Переменная безразмерна, поэтому и результат безразмерен. В прикладном масштабе множитель замены переменной нужно вынести до подстановки. Отдельно проверяем сумму весов: 1,27217+0,72783=2, то есть правило верно возвращает интеграл постоянной функции.

Частая ошибка

Не путайте параметры α и β: при принятом весе α относится к 1−x, а β — к 1+x. Не усредняйте веса: их различие является главным свойством примера. Не интегрируйте только f при проверке — точный интеграл относится к (1−x)f. И не переносите правило на [a;b] без линейной замены и множителя (b−a)/2.

Практика

Задачи с решением

Проверка константы

Условие. Вычислите ∫₋¹¹(1−x)dx по правилу.

Решение. При f=1 сумма весов равна 2.

Ответ. 2.

Кубический тест

Условие. Найдите ∫₋¹¹(1−x)x³dx.

Решение. Точный интеграл равен ∫(x³−x⁴)dx=−2/5; правило точно для f=x³.

Ответ. −2/5.

Дополнительные источники

  • https://dlmf.nist.gov/3.5
  • https://dlmf.nist.gov/18.3
  • https://dlmf.nist.gov/18.16
  • https://www.chebfun.org/publications/HaleTownsend2013a.pdf
  • https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235999628

Связанные формулы

Математика

Двухузловая квадратура Гаусса—Чебышёва первого рода

$\int_{-1}^{1}\frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}}\,dx\approx\frac{\pi}{2}\left[f\left(-\frac1{\sqrt2}\right)+f\left(\frac1{\sqrt2}\right)\right]$

Двухузловая квадратура Гаусса—Чебышёва приближает интеграл на отрезке [−1; 1], если в подынтегральном выражении уже есть вес 1/√(1−x²). Она берёт значения функции в симметричных точках ±1/√2 и умножает их сумму на π/2.

Математика

Двухузловая квадратура Гаусса—Радау с левым концом

$\int_{-1}^{1}f(x)\,dx\approx\frac12 f(-1)+\frac32 f\left(\frac13\right)$

Двухузловая квадратура Гаусса—Радау для обычного интеграла на [−1;1] обязательно использует левый конец −1. Второй узел равен 1/3, а веса равны 1/2 и 3/2; правило точно для многочленов до степени 2.

Математика

Четырёхузловая квадратура Гаусса—Лобатто

$\int_{-1}^{1}f(x)\,dx\approx\frac16f(-1)+\frac56f\left(-\frac1{\sqrt5}\right)+\frac56f\left(\frac1{\sqrt5}\right)+\frac16f(1)$

Четырёхузловая квадратура Гаусса—Лобатто использует оба конца отрезка и два внутренних симметричных узла ±1/√5. Весам 1/6, 5/6, 5/6, 1/6 соответствует точность для многочленов до степени 5.

Математика

Квадратура Гаусса—Лежандра с двумя узлами

$G_2=\frac{b-a}{2}\left[f\!\left(m-\frac{b-a}{2\sqrt3}\right)+f\!\left(m+\frac{b-a}{2\sqrt3}\right)\right],\quad m=\frac{a+b}{2}$

Двухузловая квадратура Гаусса—Лежандра вычисляет функцию в двух специально выбранных внутренних точках. На конечном отрезке с единичным весом она точно интегрирует любой многочлен степени не выше трёх.

Математика

Квадратура Гаусса—Лагерра: интеграл с весом exp(−x)

$\int_0^\infty e^{-x}f(x)\,dx\approx\frac{2+\sqrt2}{4}f(2-\sqrt2)+\frac{2-\sqrt2}{4}f(2+\sqrt2)$

Двухузловая квадратура Гаусса—Лагерра приближает интеграл на положительной полуоси с весом e^(−x). Она точно интегрирует полиномы f степени не выше трёх.