Все формулы РФ

Математика / Численное интегрирование

Квадратура Гаусса—Эрмита: интеграл с гауссовым весом

Двухузловая квадратура Гаусса—Эрмита вычисляет интегралы с весом e^(−x²) на всей прямой. Для полинома f степени до трёх результат точен.

Опубликовано: Обновлено:

Ручной расчетСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справкаДиагностика условий

Формула

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}f(x)\,dx\approx\frac{\sqrt\pi}{2}\left[f(-1/\sqrt2)+f(1/\sqrt2)\right]$$
Схема Четвёртый момент: граница точности
0312 узла3Точно

Для стандартной нормальной Z: двухузловая оценка E[Z⁴]=1, точное значение 3.

Обозначения

$x$
безразмерная координата стандартного веса e^(−x²)
$f(x)$
множитель после выделения гауссова веса, единицы интеграла
$±1/√2$
корни физического полинома Эрмита H₂
$√π/2$
одинаковый вес каждого узла

Условия применения

Используется вес exp(−x²), а не exp(−x²/2), и интегрирование по всей вещественной прямой. Взвешенный интеграл должен существовать. Узлы соответствуют физическим полиномам Эрмита; степенная точность до трёх относится к функции f.

Ограничения

Для произвольной функции два узла дают приближение, качество которого нужно проверять повышением порядка. Нормальная плотность содержит нормировочный множитель и другой масштаб экспоненты. Узлы вероятностных полиномов Эрмита отличаются, поэтому таблицы нельзя смешивать без преобразования.

Подробное объяснение

Симметрия веса exp(−x²) подсказывает парные узлы и равные веса. Два корня H₂(x)=4x²−2 находятся в точках ±1/√2. Каждый коэффициент равен √π/2, поэтому для постоянного множителя единица сумма весов воспроизводит известный гауссов интеграл √π.

Нечётный множитель даёт нулевой интеграл при существовании интеграла, и квадратура сохраняет это свойство: значения в симметричных точках сокращаются. Для x² обе точки дают 1/2, значит взвешенная сумма равна √π/2. Вместе с нечётными моментами это обеспечивает точность для любой линейной комбинации 1,x,x²,x³.

Для четвёртой степени ситуация меняется. В узлах x⁴=1/4, и формула даёт √π/4. Точный четвёртый гауссов момент равен 3√π/4. Это не ошибка в весах, а предел двухточечной формулы: степень четыре превышает гарантированный диапазон точности.

Если Z имеет стандартное нормальное распределение, замена z=√2x даёт E[g(Z)]=(1/√π)∫e^(−x²)g(√2x)dx. При двух узлах получается среднее [g(−1)+g(1)]/2. Так в ожидании исчезает множитель √π, но появляются новые аргументы функции.

Для X=μ+σZ аргументы становятся μ−σ и μ+σ при равных весах 1/2. Эту формулу можно использовать для гладкого отклика, но она не воспроизводит хвостовые события и все высшие моменты нормального закона. Например, для четвёртой степени стандартного Z она даёт 1 вместо 3.

Как пользоваться формулой

  1. Выделите вес exp(−x²) и проверьте интегрирование по всей прямой; при нормальной плотности сначала выполните замену масштаба.
  2. Найдите f в точках −1/√2 и +1/√2, не умножая эти значения повторно на гауссов вес из исходного интеграла.
  3. Сложите два значения и умножьте на √π/2; затем внесите нормировочные множители и якобиан ранее выполненной замены.
  4. Проверьте чётность и известные моменты; если множитель сложный или имеет степень выше трёх, сравните с более высоким порядком.

Историческая справка

Название квадратуры связано с полиномами Эрмита, ортогональными относительно гауссова веса на всей прямой. Гауссов принцип требует выбирать узлы по корням ортогонального полинома, а не по равномерной сетке. Для двух точек это приводит к H₂(x)=4x²−2 и равным коэффициентам.

В справочнике NIST DLMF квадратуры Эрмита отделены от Лежандра и Лагерра именно из-за различия веса и области интегрирования. В вероятностной практике возникает дополнительная нормировка нормальной плотности. Две традиции обозначения полиномов Эрмита объясняют разные узлы в таблицах: разница обусловлена масштабом переменной, а не противоречием между формулами. Поэтому источник таблицы и определение веса остаются частью корректного расчёта.

Историческая линия формулы

Имя Эрмита в названии указывает на семейство ортогональных полиномов. Гауссова квадратура и нормальная плотность связаны через замену переменной; приводимое приближение ожидания не следует отдельно приписывать автору распределения или современной программной библиотеке.

Пример

Вычислим I=∫e^(−x²)(1+x²)dx на всей прямой двухузловой формулой. Здесь f=1+x², а в обеих точках ±1/√2 её значение равно 1+1/2=3/2. Подстановка: I₂=(√π/2)(3/2+3/2)=3√π/2≈2,658680776. Ответ точен, поскольку множитель имеет степень два. Проверка разложением интеграла: ∫e^(−x²)dx=√π, а ∫x²e^(−x²)dx=√π/2; сумма совпадает. Все переменные примера безразмерны. Если задача дана как ожидание 1+Z² для стандартной нормальной Z, нужно учитывать плотность: результат равен 2, а не 3√π/2. Это другое интегральное выражение; замена z=√2x и нормировка 1/√π восстанавливают правильное ожидание.

Частая ошибка

Не смешивайте exp(−x²) и exp(−x²/2): меняются координаты узлов и нормировка. Не принимайте веса √π/2 за вероятности — их сумма равна√π. Не забывайте аргумент √2x при переводе нормального ожидания. Не проверяйте качество только нечётным полиномом: симметрия даёт нуль даже там, где чётные высшие моменты уже неверны.

Практика

Задачи с решением

Второй момент

Условие. Найдите двухузловое приближение ∫x²e^(−x²)dx на всей прямой.

Решение. В каждом узле x²=1/2, поэтому сумма равна (√π/2)(1/2+1/2)=√π/2.

Ответ. √π/2≈0,8862269255.

Нормальное ожидание

Условие. X нормально распределена с μ=3, σ=2. Приблизьте E[X²] двумя узлами и сравните с точным значением.

Решение. Узлы μ±σ равны 1 и 5, вероятностные веса 1/2. Среднее квадратов=(1+25)/2=13. Точно μ²+σ²=9+4=13.

Ответ. 13; для квадратичного отклика результат точен.

Дополнительные источники

  • https://dlmf.nist.gov/3.5
  • https://dlmf.nist.gov/18.3

Связанные формулы

Математика

Квадратура Гаусса—Лагерра: интеграл с весом exp(−x)

$\int_0^\infty e^{-x}f(x)\,dx\approx\frac{2+\sqrt2}{4}f(2-\sqrt2)+\frac{2-\sqrt2}{4}f(2+\sqrt2)$

Двухузловая квадратура Гаусса—Лагерра приближает интеграл на положительной полуоси с весом e^(−x). Она точно интегрирует полиномы f степени не выше трёх.

Математика

Квадратура Гаусса—Лежандра с двумя узлами

$G_2=\frac{b-a}{2}\left[f\!\left(m-\frac{b-a}{2\sqrt3}\right)+f\!\left(m+\frac{b-a}{2\sqrt3}\right)\right],\quad m=\frac{a+b}{2}$

Двухузловая квадратура Гаусса—Лежандра вычисляет функцию в двух специально выбранных внутренних точках. На конечном отрезке с единичным весом она точно интегрирует любой многочлен степени не выше трёх.

Математика

Квадратура Гаусса—Лежандра с тремя узлами

$\int_{-1}^{1}f(x)dx\approx\frac59f(-\sqrt{3/5})+\frac89f(0)+\frac59f(\sqrt{3/5})$

Квадратура Гаусса—Лежандра с тремя узлами даёт не только вычислительную запись, но и правило, какие данные определяют результат и как проверить его численно. Формула применяется к строго указанной модели; ниже разобраны предпосылки, два решённых задания и границы корректной интерпретации.