Все формулы РФ

Физика / Молекулярная физика

Холодильный коэффициент и коэффициент Карно

Холодильный коэффициент COP показывает, сколько теплоты отводится от холодного тела на каждый джоуль затраченной работы. Для обратимого цикла Карно COP_C = T_c/(T_h−T_c).

Опубликовано: Обновлено:

Молекулярная физикаСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справкаФормулы высшей физики

Формула

$$COP=\frac{Q_c}{W},\quad COP_C=\frac{T_c}{T_h-T_c}$$
График COP и Th − Tc, К
COP в зависимости от Th − Tc, КCOP0106,7527,513,54520,362,52780Th − Tc, К

Холодный резервуар 250 К. Показан обратимый предел, а не характеристика реального холодильника.

Обозначения

$COP$
холодильный коэффициент, 1
$Q_c$
теплота, отведённая от холодного резервуара, Дж
$W$
затраченная работа, Дж
$T_c$
температура холодного резервуара, К
$T_h$
температура горячего резервуара, К

Условия применения

Цикл обратим для предельной формулы Карно, T_h>T_c>0. Для COP = Qc/W теплоты и работа относятся к одному циклу, а температуры переводятся в кельвины. Энергетический баланс холодильника: Qh = Qc+W.

Ограничения

Реальный холодильник имеет необратимости и COP ниже карнотовского предела. При T_h, близкой к T_c, предельный COP растёт, но практическая мощность и теплообмен ограничены. COP нельзя трактовать как КПД двигателя.

Подробное объяснение

Холодильник переносит теплоту от холодного резервуара к горячему за счёт внешней работы. Поэтому полезный результат Qc может быть больше W: дополнительно отводится энергия, уже находившаяся в холодном резервуаре. Именно по этой причине COP не обязан быть меньше единицы и не сравнивается напрямую с КПД теплового двигателя.

Для обратимого цикла Карно энтропийный баланс даёт Qc/Tc = Qh/Th, а первый закон — W = Qh−Qc. Подстановка приводит к COP_C = Qc/W = Tc/(Th−Tc). Чем меньше разность температур, тем больше идеальный коэффициент.

Температуры абсолютные: холодильник при −18 °C имеет Tc = 255,15 K, а не −18. В реальной машине компрессор, дросселирование и конечная разность температур создают энтропию, поэтому измеренный COP меньше расчётного предела.

COP имеет размерность единица, но его удобно читать как «джоулей отведённой теплоты на джоуль работы». Если COP = 3, на 1 кДж работы отводится 3 кДж от холодной камеры, а в горячую часть уходит 4 кДж.

При сравнении режимов фиксируйте, что меняется: температуру холодной камеры, температуру окружающей среды или работу компрессора. Формула Карно — верхняя граница, а не обещание бытовой характеристики.

Как пользоваться формулой

  1. Опишите процесс и укажите постоянные величины.
  2. Переведите все данные в СИ и температуру в К.
  3. Выразите неизвестную величину символически.
  4. Подставьте реальные числа и сохраните промежуточный результат.
  5. Проверьте знак, размерность и физический предел.

Историческая справка

Идея холодильной машины появилась из обратного рассмотрения теплового двигателя. В 1824 году Сади Карно исследовал обратимый цикл как эталон превращения теплоты и показал роль двух температурных резервуаров. В XIX веке развитие второго закона и абсолютной шкалы температуры позволило выразить предельный холодильный эффект через Tc и Th. Инженерные холодильные машины получили практическое развитие после работ по компрессии и сжижению газов, а COP стал удобной характеристикой, отделяющей перенесённую теплоту от затраченной электрической работы. Современная формула Карно остаётся пределом для обратимого цикла; реальные компрессоры и теплообменники имеют потери и производят энтропию.

Историческая линия формулы

Предел COP принадлежит термодинамической традиции Карно и второго закона, а не одному бытовому изобретателю. Формула следует из обратимости, равенства энтропийных потоков и первого закона; практический COP конкретной машины определяется её конструкцией.

Пример

Холодильник работает между Tc = 255,15 К (−18 °C) и Th = 298,15 К (25 °C). Идеальный COP_C = 255,15/(298,15−255,15) = 5,934. Если компрессор за цикл затрачивает W = 400 Дж, отведённая теплота Qc = COP · W = 5,934 · 400 = 2373,6 Дж, а горячему резервуару передано Qh = 2373,6+400 = 2773,6 Дж. COP больше единицы, потому что он сравнивает перенесённую теплоту с работой, а не долю теплоты, превращённую в работу. Реальный прибор даст меньше 5,93 из-за необратимостей. Температуры в примере относятся к резервуарам идеальной машины. У настоящего испарителя температура должна быть ниже охлаждаемого объёма, а у конденсатора выше окружающей среды. Эти дополнительные перепады увеличивают необходимую работу.

Частая ошибка

Нельзя подменять абсолютные температуры градусами Цельсия, смешивать теплоту одного резервуара с полной теплотой цикла или считать статистическое среднее скоростью каждой частицы. Для конечных резервуаров температура меняется, а идеальные формулы требуют мгновенных или средних температур.

Практика

Задачи с решением

Кондиционер

Условие. Tc = 280 К, Th = 310 К, W = 500 Дж. Найдите карнотовский COP и Qc.

Решение. COP = 280/30 = 9,333; Qc = 9,333 · 500 = 4666,7 Дж.

Ответ. COP≈9,33; Qc≈4,67 кДж

Холодильная камера

Условие. Tc = 250 К, Th = 300 К, за цикл отводится Qc = 2,00 кДж. Найдите минимальную работу.

Решение. COP = 250/50 = 5; W = Qc/COP = 2000/5 = 400 Дж.

Ответ. W_min = 400 Дж

Дополнительные источники

  • https://openstax.org/books/university-physics-volume-2/pages/4-3-refrigerators-and-heat-pumps
  • https://openstax.org/books/university-physics-volume-2/pages/4-5-the-carnot-cycle

Связанные формулы

Физика

КПД цикла Карно

$\eta_C=1-\frac{T_2}{T_1}$

Максимальный КПД обратимого двигателя между двумя постоянными температурами равен 1 − Tc/Th. Температуры берут в кельвинах; реальные потери уменьшают достижимый результат.