Математика / Вероятность и статистика

Вероятности конечных исходов поглощающей цепи: B=NR

Матрица B показывает вероятность каждого поглощающего исхода при каждом временном старте. Она получается из фундаментальной матрицы посещений N и блока прямых выходов R; сумма каждой строки B равна 1 при неизбежном поглощении.

Опубликовано: 28 октября 2026 г.Обновлено: 28 октября 2026 г.

Формула

B=(I-Q)^{-1}R=NR,\qquad B=R+QB

Схема Два различных конечных исхода

Q=((1/2,1/4),(0,1/2)); R=((1/4,0),(1/4,1/4)). Петли обоих временных узлов имеют вероятность 1/2.

Обозначения

$Q$: квадратный блок переходов внутри временной части, безразмерная
$R$: блок переходов из временных в поглощающие состояния, безразмерная
$N$: матрица ожидаемых временных посещений(I−Q)⁻¹, безразмерная
$Bᵢₐ$: вероятность завершиться в исходе a при старте i, безразмерная
$i,a$: номера временного состояния и поглощающего исхода, безразмерная

Условия применения

Конечная цепь имеет выделенные поглощающие состояния; все остальные переходны и достигают поглощения с вероятностью 1. Блоки записаны в одном порядке состояний, строки(Q R) суммируются в 1, а ρ(Q)<1. Начальные вероятности поглощающих состояний при необходимости добавляются отдельно.

Ограничения

Произведение NR относится к финальному исходу, а не к исходу ровно через n шагов. Если процесс может навсегда остаться в непоглощающем классе, обратимость и нормировка требуют пересмотра. B не содержит информации о распределении длительности до каждого исхода.

Подробное объяснение

Из временного состояния процесс либо сразу выходит в поглощение через R, либо сначала переходит в другое временное состояние через Q. Условные вероятности финальных исходов поэтому удовлетворяют B=R+QB. Перенос даёт(I−Q)B=R — линейную систему с несколькими правыми частями.

Разложение B=R+QR+Q²R+… имеет прямой смысл: первый член соответствует поглощению на первом шаге, второй — после одного временного перехода, третий — после двух. Сумма охватывает все возможные моменты поглощения. Это иной ряд, чем N=I+Q+Q²+…, который считает временные посещения.

Поскольку Nᵢⱼ — ожидаемое число визитов в j, произведение NᵢⱼRⱼₐ суммирует ожидаемые выходы из j к исходу a. Поглощение в a случается не более одного раза, поэтому ожидаемое число таких окончательных выходов равно вероятности этого исхода. Так объясняется произведение NR.

B имеет столько строк, сколько временных состояний, и столько столбцов, сколько поглощающих исходов. Её элементы неотрицательны и суммы строк равны 1 при неизбежном поглощении. Для смешанного старта w внутри временной части итоговая строка исходов равна wB, а не Bw.

Как пользоваться формулой

Выделите блоки Q и R по одному порядку временных состояний и отдельному порядку конечных исходов; проверьте суммы полных строк.
Решите систему(I−Q)B=R либо умножьте уже проверенную N на R; размеры внутренних индексов должны совпадать.
Проверьте B=R+QB и суммы строк; каждый элемент должен лежать в[0,1], даже если элементы N были больше единицы.
Для случайного старта умножьте строку его вероятностей на B; отдельно прибавьте массу, уже находившуюся в поглощающих исходах.

Историческая справка

Вероятности поглощения входят в классическую теорию конечных цепей наряду со средним числом посещений и длительностью. Матричная форма объединяет множество уравнений первого шага, одно на каждый временный старт и возможный окончательный исход.

Kemeny и Snell в книге «Finite Markov Chains», первое издание 1960 года, рассматривают конечные модели как систему связанных линейных задач. Переиздание 1976 года подчёркивает развитие понятия фундаментальной матрицы. Формула B=NR естественно использует уже найденные посещения для вычисления другого свойства той же цепи.

В современном учебном изложении Grinstead и Snell поглощающие цепи находятся в разделе 11.2. Сумма R+QR+Q²R+… показывает, почему нельзя остановиться на прямом выходе R. Эта запись также объясняет роль нескольких поглощающих столбцов и необходимость сохранять их порядок при вычислении.

Историческая линия формулы

B=NR является стандартным следствием уравнений первого шага в теории поглощающих конечных цепей. Здесь оно проверено по матричной учебной традиции Kemeny, Snell и Grinstead; отдельный автор или дата изобретения этой конкретной записи без первичного свидетельства не назначаются.

Пример

Пусть Q=((1/2,1/4),(0,1/2)), R=((1/4,0),(1/4,1/4)), столбцы R соответствуют исходам U,V. Из предыдущего расчёта N=((2,1),(0,2)). Тогда B=NR=((2·1/4+1·1/4,2·0+1·1/4),(0+2·1/4,0+2·1/4))=((3/4,1/4),(1/2,1/2)). Суммы строк равны 1. Из первого состояния исход U вероятнее, потому что возможен прямой выход в U, а V доступен только после посещения второго состояния. Независимый контроль для V: b₂=1/4+b₂/2 даёт 1/2; b₁=b₁/2+b₂/4 даёт 1/4. Начальная смесь(1/2,1/2) даёт вероятности исходов(5/8,3/8). Все четыре исходные строки условных переходов остаются нормированными.

Частая ошибка

Не перемножайте блоки в обратном порядке: RN обычно даже не имеет нужных размеров. Не подменяйте конечный исход одношаговым выходом R. Не смешивайте столбцы разных исходов при перестановке состояний. Для старта в поглощающем состоянии соответствующая вероятность уже равна 1 и не требует временного блока.

Практика

Задачи с решением

Одна повторяющаяся попытка

Условие. Один временный узел имеет петлю 1/2, выход в U с 1/3, в V с 1/6. Найдите итог.

Решение. N=2. B=2(1/3,1/6)=(2/3,1/3). Петля повторяет попытку, но не меняет отношение выходов 2:1.

Ответ. U:2/3, V:1/3.

Смешанный старт

Условие. Для B=((3/4,1/4),(1/2,1/2)) старт w=(1/4,3/4). Найдите wB.

Решение. U=(1/4)(3/4)+(3/4)(1/2)=3/16+6/16=9/16; V=7/16.

Ответ. (9/16,7/16).

Дополнительные источники

https://math.dartmouth.edu/~prob/prob/prob.pdf
https://link.springer.com/book/9780387901923

Связанные формулы

Математика

Фундаментальная матрица поглощения и среднее число шагов

$N=(I-Q)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}Q^n,\qquad t=N\mathbf1$

Фундаментальная матрица поглощающей цепи считает ожидаемые посещения переходных состояний до поглощения. Сумма строки даёт среднее число шагов до выхода из временной части цепи, включая возможные повторные визиты.

Математика

Распределение цепи Маркова через n шагов: матрица переходов

$p_n=p_0P^n,\qquad p_{n+1,j}=\sum_i p_{n,i}P_{ij}$

Распределение конечной однородной цепи после n шагов получается умножением начальной строки вероятностей на степень матрицы переходов. Элементы Pⁿ суммируют вероятности всех траекторий нужной длины между состояниями.

Математика

Стационарное распределение цепи Маркова и условие сходимости

$\pi P=\pi,\qquad \sum_i\pi_i=1,\quad \pi_i\ge0$

Стационарное распределение сохраняется после одного шага цепи. Для конечной неприводимой цепи оно единственно, но сходимость распределений из любого старта дополнительно требует апериодичности.