Аналитика / Статистические выводы

Оценка Нельсона — Аалена для накопленного риска

Оценка Нельсона — Аалена складывает доли событий среди объектов, остававшихся под наблюдением. Она даёт накопленный риск, который может быть больше единицы.

Опубликовано: 10 ноября 2026 г.Обновлено: 10 ноября 2026 г.

Формула

\widehat H(t)=\sum_{t_i\leq t}\frac{d_i}{n_i}

Схема Скачки накопленного риска

Высота увеличивается на 0,125, затем на 0,4 и на 0,5.

Обозначения

$Ĥ(t)$: оценка накопленного риска, —
$t$: горизонт расчёта, ч, дни или другая единица времени
$t_i$: различное наблюдённое время события, та же единица, что t
$d_i$: число событий в момент t_i, объекты
$n_i$: число объектов в множестве риска перед t_i, объекты

Условия применения

Наблюдают независимые времена до первого события с независимым правым цензурированием. Перед каждой группой событий известен состав множества риска. В случае одновременных событий здесь используют один скачок d_i/n_i.

Ограничения

Ĥ не является вероятностью, а её скачок не показывает непрерывную мгновенную интенсивность в конкретной точке. При малом n_i конец кривой нестабилен. Преобразование exp(−Ĥ) даёт оценку выживания, но она может отличаться от произведения Каплана — Мейера.

Подробное объяснение

Интенсивность события относится к объектам, у которых событие ещё не произошло. Интеграл интенсивности по времени называется накопленным риском H(t). Для непрерывного распределения времени события вероятность его не испытать до t равна exp(−H(t)).

В наблюдаемой выборке на шаге t_i происходит d_i событий среди n_i под риском. Оценка прибавляет d_i/n_i. Время цензурирования без события не создаёт скачка, но уменьшает знаменатель для более поздних событий, если объект уже не наблюдается.

В отличие от формулы Каплана — Мейера здесь складывают доли, а не перемножают дополнения. При малых d_i/n_i связь близка: −ln(1−q)≈q. Если q велико, разница заметна. Например, q=1 в последнем множестве риска даёт конечный вклад в сумму, но обнуляет произведение.

Равномерный рост H соответствует постоянной интенсивности, а рост наклона может указывать на увеличение интенсивности с возрастом. На малой выборке одиночный поздний скачок нельзя уверенно интерпретировать как изменение механизма отказа. Полезно показывать числа под риском рядом с графиком.

Как пользоваться формулой

Упорядочьте данные по времени, разделив зарегистрированные события и завершения наблюдения без события.
Для каждого времени t_i найдите число ещё наблюдаемых объектов перед событием и число событий в этот момент.
Разделите d_i на n_i. При нескольких событиях с совпавшим временем используйте общий числитель.
Сложите полученные доли до горизонта t включительно. Если строите график, сохраняйте высоту между скачками.

Историческая справка

Уэйн Нельсон описал графический анализ неполных данных об отказах в публикациях 1969 и 1972 годов. Его задача состояла в том, чтобы использовать одновременно времена отказов и наработку объектов, которые продолжали работать до окончания наблюдения. Накопление долей удобно для построения графика и сравнения моделей.

Одд Аален в статье 1978 года сформулировал непараметрический подход через считающие процессы. В этой форме число событий меняется скачками, а множество риска определяет знаменатель в момент скачка. Оценка унаследовала оба имени, поскольку инженерная графическая процедура и теория процессов описывают одну и ту же сумму в базовом случае.

Историческая линия формулы

Название объединяет работы Нельсона о графиках риска для цензурированных отказов и Аалена о непараметрическом анализе считающих процессов. Приведённая формула относится к одному событию на объект и одному совокупному множеству риска.

Пример

Начали с восьми приборов. На 2 ч отказал один, на 3 ч сняли два исправных. На 4 ч отказали два из оставшихся пяти, на 5 ч сняли один исправный, а на 6 ч один из двух оставшихся отказал. Скачки равны 1/8=0,125, 2/5=0,4 и 1/2=0,5. Следовательно Ĥ(4)=0,525, а Ĥ(6)=1,025. Накопленный риск на 6 ч больше единицы. Если перевести его в оценку выживания по экспоненте, получим exp(−1,025)≈0,3588. Каждый вклад представляет отношение чисел объектов, так что размерность часа у суммы отсутствует. На 3 и 5 ч риск остаётся на предыдущей высоте.

Частая ошибка

Не делите на размер первоначальной выборки после цензурирования. Не прибавляйте отдельный шаг при завершении наблюдения исправного объекта. Не ограничивайте сумму единицей. Не заменяйте в формуле долю d_i/n_i на −ln(1−d_i/n_i): эта замена соответствует логарифму другой оценки.

Практика

Задачи с решением

Один скачок

Условие. Под риском 12 объектов. В один момент происходят три события. Каков вклад?

Решение. Используем совместный скачок d_i/n_i=3/12.

Ответ. 0,25.

Поздний отказ

Условие. Накопленный риск до события 0,7. В момент события под риском два объекта, один отказывает. Найдите риск после него.

Решение. Добавляем 1/2 к предыдущему уровню.

Ответ. 1,2.

Дополнительные источники

https://doi.org/10.1080/00401706.1972.10488991
https://doi.org/10.1214/aos/1176344247
https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/apr/section1/apr131.htm

Связанные формулы

Аналитика

Оценка Каплана — Мейера при правом цензурировании

$\widehat S(t)=\prod_{t_i\leq t}\left(1-\frac{d_i}{n_i}\right)$

Оценка Каплана — Мейера восстанавливает долю объектов без события к заданному времени, когда некоторые наблюдения закончились раньше события. Кривая падает только в моменты событий.

Аналитика

Формула Гринвуда для ошибки оценки Каплана — Мейера

$\widehat{\mathrm{Var}}\!\left[\widehat S(t)\right]=\widehat S(t)^2\sum_{t_i\leq t}\frac{d_i}{n_i(n_i-d_i)}$

Формула Гринвуда оценивает выборочную дисперсию кривой Каплана — Мейера в заданный момент. Квадратный корень из дисперсии даёт стандартную ошибку этой оценки.

Инженерия

Верхняя граница интенсивности при нуле отказов

$\lambda_U=\frac{-\ln\alpha}{T}$

Даже если в испытании не случилось ни одного отказа, можно оценить верхнюю доверительную границу постоянной интенсивности отказов. Чем больше суммарная наработка, тем ниже граница.

Инженерия

Распределение Вейбулла: безотказность и изменение риска

$R(t)=e^{-(t/\eta)^\beta},\qquad h(t)=\frac{\beta}{\eta}\left(\frac{t}{\eta}\right)^{\beta-1}$

Двухпараметрическая модель Вейбулла описывает срок службы с убывающей, постоянной или растущей интенсивностью отказов. Параметр формы задаёт изменение риска с возрастом, а масштаб определяет временную шкалу.

Инженерия

Интенсивность отказов в экспоненциальной модели надежности

$\lambda=\frac{r}{T}$

Интенсивность отказов в экспоненциальной модели надежности показывает, как получить расчетную величину из проверяемых исходных данных. Формула полезна для предварительного инженерного расчета, потому что сразу связывает результат с единицами измерения и областью применимости.