Аналитика / Статистические выводы

Оценка Каплана — Мейера при правом цензурировании

Оценка Каплана — Мейера восстанавливает долю объектов без события к заданному времени, когда некоторые наблюдения закончились раньше события. Кривая падает только в моменты событий.

Опубликовано: 10 ноября 2026 г.Обновлено: 10 ноября 2026 г.

Формула

\widehat S(t)=\prod_{t_i\leq t}\left(1-\frac{d_i}{n_i}\right)

Схема Оценка на ступенях отказов

На 3 и 5 ч кривая остаётся на той же высоте. Цензурирование меняет следующие множители.

Обозначения

$Ŝ(t)$: оценка вероятности, что событие произойдёт позже t, —
$t$: время от начала наблюдения, ч, дни или другая единица времени
$t_i$: момент одного или нескольких событий, та же единица, что t
$d_i$: число событий в момент t_i, объекты
$n_i$: число объектов под наблюдением и без события непосредственно перед t_i, объекты

Условия применения

У объектов общий смысл начала отсчёта, регистрируется время до первого события и возможное правое цензурирование. Наблюдения независимы, а прекращение наблюдения не несёт дополнительной информации о времени события в анализируемой группе.

Ограничения

Если наблюдение прекращается из-за ухудшения состояния объекта, предположение о независимом цензурировании нарушается. После последнего доступного наблюдения кривая не даёт новой информации. При интервальной регистрации событий нужна модель интервального цензурирования.

Подробное объяснение

Перед каждым событием формируют множество риска: объекты ещё наблюдаются и ни у одного из них событие не произошло. Из n_i объектов событие случается у d_i, а доля избежавших события в этот момент равна 1−d_i/n_i.

Чтобы пережить момент t_i, надо было пережить предыдущие моменты. Поэтому условные доли перемножаются. Пустое произведение равно единице. Между событиями оценка постоянна, даже если наблюдение за несколькими объектами прекращается.

Правое цензурирование означает, что до некоторого времени событие не наблюдалось, а дальнейшая судьба неизвестна. Цензурированный объект участвует в предыдущих множествах риска и выпадает из последующих. В случае одинаковых времён с явным общим правилом учёта сначала считают события, затем снимают с наблюдения остальных.

При отсутствии цензурирования последовательные множители сокращаются, и оценка совпадает с обычной долей объектов, переживших t. Если наблюдение прервалось раньше очередного события, следующий множитель считают по оставшимся, а не по всему первоначальному набору. Хвост кривой с малым n_i особенно чувствителен к одному событию.

Как пользоваться формулой

Отсортируйте времена наблюдения и отдельно отметьте события и правое цензурирование для каждого объекта.
Перед каждым временем событий подсчитайте оставшихся под наблюдением объектов, не включив выбывших ранее.
Объедините события с одинаковым временем. Рассчитайте для них один множитель 1−d_i/n_i.
Перемножьте множители до нужного времени включительно и отмечайте моменты цензурирования без изменения высоты.

Историческая справка

В 1958 году Эдвард Каплан и Пол Мейер опубликовали работу о непараметрическом оценивании по неполным наблюдениям. В статье они рассматривали ситуации, когда точное время жизни известно только для части выборки, а по остальным имеется нижняя граница. Произведение условных долей позволяет использовать их время под наблюдением.

В инженерном справочнике NIST подход представлен как эмпирическая оценка надёжности. Из распределения Вейбулла или экспоненциальной модели параметры заранее не берут. На практике этот переход важен: когда есть достаточно событий, можно сначала увидеть структуру ступеней, а затем сравнить её с выбранной моделью срока службы.

Историческая линия формулы

Каплан и Мейер в работе 1958 года систематически рассмотрели оценку в виде произведения по отдельным временам событий. Это развитие подходов таблиц дожития. Современная запись использует размер множества риска прямо перед событием.

Пример

Восемь приборов начали испытание одновременно. В 2 ч отказал один, в 3 ч два исправных прибора сняли, в 4 ч отказали ещё два, в 5 ч один исправный сняли, в 6 ч отказал ещё один. Найдём оценку на 4 и 6 ч. При t=2 множитель 7/8. К 4 ч под наблюдением осталось пять приборов, из них отказывают два, поэтому множитель 3/5. Получаем Ŝ(4)=(7/8)(3/5)=21/40=0,525. К 6 ч осталось два прибора, и множитель равен 1/2. Значит Ŝ(6)=21/80=0,2625. Множители безразмерны и лежат между нулём и единицей. На 3 и 5 ч есть снятия, но нет отказов, поэтому высота кривой в эти моменты не меняется.

Частая ошибка

Не считайте снятый исправный объект отказавшим. Не оставляйте его в знаменателе после окончания наблюдения. Одновременные события группируйте, чтобы использовать единое множество риска. Не вычисляйте долю выживших от первоначального числа, если часть выборки перестала наблюдаться раньше.

Практика

Задачи с решением

Пять объектов

Условие. Из пяти объектов один выбывает исправным в 1 ч, в 2 ч отказывают два. Найдите Ŝ(2).

Решение. На 2 ч остаются четыре объекта. Единственный множитель равен 1−2/4.

Ответ. 0,50.

Полная выборка

Условие. Все шесть времён отказа известны. К 3 ч включительно отказали два объекта. Найдите Ŝ(3).

Решение. При полных данных произведение сокращается до доли оставшихся. После двух отказов остаётся 6−2=4.

Ответ. 4/6=2/3.

Дополнительные источники

https://jhanley.biostat.mcgill.ca/bios601/SurvivalAnalysis/KaplanMeier1958.pdf
https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/apr/section2/apr215.htm
https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/apr/section1/apr131.htm

Связанные формулы

Аналитика

Оценка Нельсона — Аалена для накопленного риска

$\widehat H(t)=\sum_{t_i\leq t}\frac{d_i}{n_i}$

Оценка Нельсона — Аалена складывает доли событий среди объектов, остававшихся под наблюдением. Она даёт накопленный риск, который может быть больше единицы.

Аналитика

Формула Гринвуда для ошибки оценки Каплана — Мейера

$\widehat{\mathrm{Var}}\!\left[\widehat S(t)\right]=\widehat S(t)^2\sum_{t_i\leq t}\frac{d_i}{n_i(n_i-d_i)}$

Формула Гринвуда оценивает выборочную дисперсию кривой Каплана — Мейера в заданный момент. Квадратный корень из дисперсии даёт стандартную ошибку этой оценки.

Инженерия

Верхняя граница интенсивности при нуле отказов

$\lambda_U=\frac{-\ln\alpha}{T}$

Даже если в испытании не случилось ни одного отказа, можно оценить верхнюю доверительную границу постоянной интенсивности отказов. Чем больше суммарная наработка, тем ниже граница.

Инженерия

Распределение Вейбулла: безотказность и изменение риска

$R(t)=e^{-(t/\eta)^\beta},\qquad h(t)=\frac{\beta}{\eta}\left(\frac{t}{\eta}\right)^{\beta-1}$

Двухпараметрическая модель Вейбулла описывает срок службы с убывающей, постоянной или растущей интенсивностью отказов. Параметр формы задаёт изменение риска с возрастом, а масштаб определяет временную шкалу.

Инженерия

Вероятность безотказной работы при постоянной интенсивности отказов

$R(t)=e^{-\lambda t}$

Вероятность безотказной работы при постоянной интенсивности отказов показывает, как получить расчетную величину из проверяемых исходных данных. Формула полезна для предварительного инженерного расчета, потому что сразу связывает результат с единицами измерения и областью применимости.