Все формулы РФ

Инженерия / Инженерные измерения

Распределение Вейбулла: безотказность и изменение риска

Двухпараметрическая модель Вейбулла описывает срок службы с убывающей, постоянной или растущей интенсивностью отказов. Параметр формы задаёт изменение риска с возрастом, а масштаб определяет временную шкалу.

Опубликовано: Обновлено:

Анализ данныхРаспределения, матожиданиеСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справкаКалькулятор

Формула

$$R(t)=e^{-(t/\eta)^\beta},\qquad h(t)=\frac{\beta}{\eta}\left(\frac{t}{\eta}\right)^{\beta-1}$$
Схема Вейбулл: рост риска при β=2
Вейбулл: рост риска при β=2Вейбулл: рост риска при β=2101500 ч5001000

η=1000 ч. Кривая R(t); отмечены R(500)=0,778801 и R(1000)=0,367879.

Обозначения

$t$
время с начала службы, t≥0, ч
$η$
положительный масштаб срока службы, ч
$β$
положительный параметр формы, 1
$R(t)$
вероятность срока службы больше t, 1
$h(t)$
мгновенная интенсивность отказов при дожитии, ч⁻¹

Условия применения

Используется двухпараметрическая модель без сдвига начала времени; η>0, β>0. Срок службы непрерывен, а единицы времени и масштаба согласованы. Параметры относятся к одной совокупности и условиям, без смешения разных режимов эксплуатации.

Ограничения

Параметр β не доказывает конкретный физический механизм старения. Смешение причин отказа может дать неподходящую форму распределения. Функция R относится к первому отказу; после ремонтов нужен отдельный процесс. Для трёхпараметрической модели учитывают сдвиг времени.

Подробное объяснение

В показателе экспоненты стоит накопленная интенсивность H(t)=(t/η)ᵝ. Отношение времени к масштабу безразмерно. Дифференцирование H по времени даёт h(t); это условная мгновенная интенсивность для тех объектов, которые дожили до t, а не вероятность отказа в точке.

При β=1 интенсивность постоянна и равна 1/η: получается экспоненциальный срок службы. При β>1 риск растёт с возрастом, при 0<β<1 убывает. Последнее не означает, что конкретный объект становится прочнее: модель описывает изменение условного риска в совокупности выживших объектов.

В момент t=η надёжность всегда равна exp(−1)≈0,367879. Поэтому η называют характеристическим сроком, но он не равен времени, до которого доживут все, и в общем случае не равен среднему. Для среднего используют ηΓ(1+1/β), а для медианы — η(ln2)¹/ᵝ.

Если объект уже проработал a, вероятность ещё b времени без отказа равна R(a+b)/R(a). Для β≠1 она зависит от возраста a. Это отличает модель от экспоненциального отсутствия памяти и позволяет явно проверить, можно ли переносить вероятность нового объекта на уже работающий.

Как пользоваться формулой

  1. Проверьте положительность масштаба и формы, отсутствие сдвига и единицы времени для выбранной модели срока службы.
  2. Вычислите безразмерное отношение t/η, возведите его в степень β и найдите экспоненту с отрицательным знаком.
  3. Для интенсивности продифференцируйте накопленный показатель либо используйте формулу с единицей обратного времени.
  4. Для объекта заданного возраста используйте отношение двух функций надёжности и не подменяйте его значением для нового.

Историческая справка

Название распределения связано с Вейбуллом, а в прикладной статистике сроков службы оно закрепилось как гибкая модель положительной величины. Справочник NIST рассматривает его и как эмпирическое распределение, и в связи с моделями экстремальных значений и слабого звена.

В инженерной практике XX–XXI веков удобство модели определяется двумя разными ролями параметров: масштаб меняет единицу времени, форма меняет вид интенсивности. Современные статистические библиотеки сохраняют эту структуру, но могут использовать другие буквенные обозначения и добавлять сдвиг. Поэтому историческое название семейства недостаточно для переноса параметров между программами; нужно сверять саму функцию распределения.

Историческая линия формулы

Распределение Вейбулла — именованное семейство моделей срока службы и экстремальных значений. Конкретный физический механизм отказа не следует из названия. Здесь выбрана двухпараметрическая форма с масштабом η и формой β; другие обозначения проверяют по формуле.

Пример

В учебной модели η=1000 ч, β=2. При t=500 ч отношение t/η=0,5, накопленная интенсивность H=0,25 и R(500)=exp(−0,25)≈0,778800783. Интенсивность h(500)=(2/1000)·0,5=0,001 ч⁻¹. При t=1000 ч R=exp(−1)≈0,367879441, h=0,002 ч⁻¹. Для уже дожившего до 500 ч объекта вероятность ещё 500 ч работы равна R(1000)/R(500)=exp(−0,75)≈0,472366553. Она ниже 0,778800783 для нового объекта на первые 500 ч, что согласуется с ростом риска. Все экспоненты безразмерны; интенсивность не следует выдавать за вероятность отказа за 500 ч.

Частая ошибка

Не путайте параметр формы с масштабом: в разных справочниках буквы меняются. Нельзя считать η средним сроком при любой β. Интенсивность h имеет размерность обратного времени. Для уже работающего объекта нужна условная вероятность, а не безотказность нового на тот же добавочный интервал.

Практика

Задачи с решением

Характеристическое время

Условие. η=200 ч, β=3. Найдите R(200).

Решение. t/η=1, H=1³=1; R=exp(−1).

Ответ. Примерно 0,367879.

Медиана

Условие. η=1000 ч, β=2. Найдите медиану срока службы.

Решение. R=1/2 даёт (t/1000)²=ln2, t=1000√ln2≈832,554611 ч.

Ответ. Около 832,555 ч.

Калькулятор

Расчёт: Безотказность R(t)

Двухпараметрическая модель без сдвига; рассчитывается безотказность до первого отказа.

Введите значенияКалькулятор покажет ответ, промежуточные величины и ход подстановки.
  • Двухпараметрическая модель без сдвига; рассчитывается безотказность до первого отказа.

Дополнительные источники

  • https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/apr/section1/apr162.htm
  • https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.weibull_min.html

Связанные формулы

Инженерия

Вероятность безотказной работы при постоянной интенсивности отказов

$R(t)=e^{-\lambda t}$

Вероятность безотказной работы при постоянной интенсивности отказов показывает, как получить расчетную величину из проверяемых исходных данных. Формула полезна для предварительного инженерного расчета, потому что сразу связывает результат с единицами измерения и областью применимости.

Инженерия

Интенсивность отказов в экспоненциальной модели надежности

$\lambda=\frac{r}{T}$

Интенсивность отказов в экспоненциальной модели надежности показывает, как получить расчетную величину из проверяемых исходных данных. Формула полезна для предварительного инженерного расчета, потому что сразу связывает результат с единицами измерения и областью применимости.

Инженерия

Надёжность последовательной системы: обязательные узлы

$R_s(t)=\prod_{i=1}^{n}R_i(t)$

Последовательная по надёжности система работает, пока исправны все обязательные узлы. При независимых отказах вероятность её безотказной работы за заданное время равна произведению вероятностей отдельных узлов.