Аналитика / Статистические выводы

Формула Гринвуда для ошибки оценки Каплана — Мейера

Формула Гринвуда оценивает выборочную дисперсию кривой Каплана — Мейера в заданный момент. Квадратный корень из дисперсии даёт стандартную ошибку этой оценки.

Опубликовано: 10 ноября 2026 г.Обновлено: 10 ноября 2026 г.

Формула

\widehat{\mathrm{Var}}\!\left[\widehat S(t)\right]=\widehat S(t)^2\sum_{t_i\leq t}\frac{d_i}{n_i(n_i-d_i)}

Схема Ошибка после двух времён событий

В этом примере после второго события стандартная ошибка выше. Между событиями она не меняется.

Обозначения

$Ŝ(t)$: оценка Каплана — Мейера на горизонте t, —
$Var̂$: оценка дисперсии значения кривой, —
$t_i$: различные времена событий, ч, дни или другая единица времени
$d_i$: число событий в момент t_i, объекты
$n_i$: число объектов под риском до t_i, объекты

Условия применения

Подготовлены размеры множеств риска для обычной оценки Каплана — Мейера с независимыми наблюдениями и независимым правым цензурированием. Для прямой подстановки во всех учтённых шагах требуется n_i>d_i.

Ограничения

Когда все объекты последнего множества риска отказали, записанная сумма содержит деление на ноль. Такой край обрабатывают отдельно. Формула оценивает точечную дисперсию, а не полосу неопределённости одновременно по всей кривой.

Подробное объяснение

Кривая Каплана — Мейера перемножает условные доли без события. Величина неопределённости зависит не только от высоты кривой, но и от числа объектов под риском на каждом шаге. Поздний отказ среди немногих оставшихся даёт больший относительный вклад.

Если перейти к логарифму произведения, слагаемые соответствуют отдельным временам событий. Для условной доли 1−q_i приближённая дисперсия её логарифма по дельта-методу равна q_i/[n_i(1−q_i)]. Подстановка q_i=d_i/n_i даёт вклад d_i/[n_i(n_i−d_i)].

Сумма вкладов относится к относительной дисперсии. Чтобы перейти к шкале исходной кривой, её умножают на квадрат Ŝ(t). Стандартная ошибка — корень из результата. Сумма внутри формулы не убывает, но ошибка в исходной шкале может уменьшаться из-за падения Ŝ.

Если цензурирования нет, формула сводится к знакомой дисперсии выборочной доли Ŝ(1−Ŝ)/n. В задачах с цензурированием простая подстановка исходного n в биномиальную формулу пропустит уменьшение множества риска при поздних отказах.

Как пользоваться формулой

Возьмите таблицу расчёта Каплана — Мейера с числами событий и числами под риском по каждому времени.
Для каждого времени до горизонта проверьте, что после событий осталось положительное число объектов n_i−d_i.
Сложите дроби d_i/[n_i(n_i−d_i)] по всем включённым временам событий, сохраняя точность до конца.
Умножьте сумму на квадрат оценки безотказности. Для стандартной ошибки извлеките квадратный корень.

Историческая справка

Мейджор Гринвуд в докладе 1926 года рассматривал статистическую неопределённость оценок длительности наблюдаемого исхода. В приложении к этой работе выводилась ошибка для вероятностей дожития. Его формула появилась в контексте таблиц дожития, задолго до статьи Каплана и Мейера.

В статье 1958 года Каплан и Мейер сослались на работу Гринвуда при обсуждении дисперсии произведения. В современном изложении, например в статье о методе Каплана — Мейера, доступной через Университет Макгилла, формулу записывают по индивидуальным временам событий. Это позволяет учитывать меняющиеся множества риска без замены всех знаменателей исходным размером выборки.

Историческая линия формулы

Оценка дисперсии носит имя Мейджора Гринвуда. Точечная запись с множителями из данных о событиях применяется к оценке Каплана — Мейера. Речь идёт об ошибке оценивания кривой, а не о разбросе самих времён событий в исходной выборке.

Пример

На первом шаге под риском 10 объектов и отмечены два события. После этого три наблюдения цензурированы. На втором шаге под риском пять объектов и отмечено одно событие. Оценка безотказности равна (8/10)(4/5)=0,64. Вклады в сумму составляют 2/(10·8)=0,025 и 1/(5·4)=0,05. Дисперсия равна 0,64²·0,075=0,03072. Стандартная ошибка равна √0,03072≈0,1753. Безразмерная стандартная ошибка соответствует примерно 17,53 процентного пункта. Сумма больше вклада первого шага, поскольку во втором шаге меньше объектов под риском.

Частая ошибка

Не забывайте квадрат Ŝ перед суммой. В знаменателе требуется n_i(n_i−d_i), а не n_i². Сначала сложите вклады и умножьте на квадрат, потом извлекайте корень. При совпавших временах событий используйте совместное d_i и не делите на ноль на крайней ступени.

Практика

Задачи с решением

Без цензурирования

Условие. При 10 полных наблюдениях до горизонта отмечено два события. Найдите стандартную ошибку через биномиальное упрощение.

Решение. Ŝ=0,8. Оценка дисперсии равна 0,8·0,2/10=0,016. Извлекаем корень.

Ответ. Около 0,1265.

Два одновременных события

Условие. Из восьми объектов два отказали в один момент, предыдущих событий нет. Найдите дисперсию.

Решение. Ŝ=6/8=0,75. Вклад в сумму равен 2/(8·6)=1/24. Умножаем на 0,75².

Ответ. 0,0234375.

Дополнительные источники

https://wellcomecollection.org/works/dyw3nj4k
https://jhanley.biostat.mcgill.ca/bios601/SurvivalAnalysis/KaplanMeier1958.pdf
https://www.medicine.mcgill.ca/epidemiology/hanley/c609/material/KaplanMeierEstimator.pdf

Связанные формулы

Аналитика

Оценка Каплана — Мейера при правом цензурировании

$\widehat S(t)=\prod_{t_i\leq t}\left(1-\frac{d_i}{n_i}\right)$

Оценка Каплана — Мейера восстанавливает долю объектов без события к заданному времени, когда некоторые наблюдения закончились раньше события. Кривая падает только в моменты событий.

Аналитика

Оценка Нельсона — Аалена для накопленного риска

$\widehat H(t)=\sum_{t_i\leq t}\frac{d_i}{n_i}$

Оценка Нельсона — Аалена складывает доли событий среди объектов, остававшихся под наблюдением. Она даёт накопленный риск, который может быть больше единицы.

Инженерия

Верхняя граница интенсивности при нуле отказов

$\lambda_U=\frac{-\ln\alpha}{T}$

Даже если в испытании не случилось ни одного отказа, можно оценить верхнюю доверительную границу постоянной интенсивности отказов. Чем больше суммарная наработка, тем ниже граница.

Инженерия

Распределение Вейбулла: безотказность и изменение риска

$R(t)=e^{-(t/\eta)^\beta},\qquad h(t)=\frac{\beta}{\eta}\left(\frac{t}{\eta}\right)^{\beta-1}$

Двухпараметрическая модель Вейбулла описывает срок службы с убывающей, постоянной или растущей интенсивностью отказов. Параметр формы задаёт изменение риска с возрастом, а масштаб определяет временную шкалу.