Все формулы РФ

Физика / Колебания и волны

Отражение звука на границе сред через импедансы

При нормальном падении плоского звука на границу двух сред амплитудное отражение давления определяется разностью и суммой их импедансов. Квадрат этого коэффициента даёт долю отражённой интенсивности для сред без потерь.

Опубликовано: Обновлено:

Колебания и волныШкольная программаФормулы по физике за 11 классЕсть историческая справка

Формула

$$r_p=\frac{z_2-z_1}{z_2+z_1},\qquad R_I=r_p^2$$
График Доля отражённой интенсивности
Доля отражённой интенсивностиДоля отражённой интенсивностиRᵢ; при нуле показан пределОтношение z₂ / z₁01234500.250.50.751

При z₂/z₁=1 отражения нет; при отношении 2 отражается 1/9 потока.

Обозначения

$rₚ$
отношение отражённой амплитуды давления к падающей со знаком, безразмерная величина
$Rᵢ$
доля отражённой интенсивности, безразмерная величина
$z₁$
удельный характеристический импеданс среды падения, Па·с/м
$z₂$
удельный характеристический импеданс второй среды, Па·с/м

Условия применения

Плоская волна падает строго нормально на плоскую границу двух однородных сред с положительными вещественными импедансами. Волны малы, потери на границе отсутствуют, давление и нормальная колебательная скорость непрерывны. Рассматриваются жидкости или газы без преобразования в поперечные волны.

Ограничения

Наклонное падение, упругие твёрдые тела, тонкие слои и комплексные импедансы требуют более общей модели. Квадрат амплитудного коэффициента прохождения давления не равен доле прошедшей энергии без поправки на импедансы. Отрицательный rₚ означает смену фазы давления, а не отрицательную энергию.

Подробное объяснение

Обозначим амплитуды давления падающей, отражённой и прошедшей волн pᵢ, pᵣ и pₜ. Непрерывность давления на границе даёт pᵢ+pᵣ=pₜ. Для скорости частиц знак отражённой волны противоположен: (pᵢ−pᵣ)/z₁=pₜ/z₂. Решение этих двух уравнений даёт rₚ=pᵣ/pᵢ=(z₂−z₁)/(z₂+z₁).

Если z₂>z₁, отражённое давление имеет тот же знак, что и падающее в момент встречи с границей. Если z₂<z₁, коэффициент отрицателен и фаза давления меняется на π. При равных импедансах rₚ=0: граница согласована для этой идеализированной волны.

Падающая и отражённая волны находятся в одной среде, поэтому их интенсивности пропорциональны квадратам давления с одним знаменателем z₁. Отношение модулей потоков равно rₚ². Оно лежит от нуля до единицы и не зависит от знака rₚ.

Коэффициент давления прошедшей волны tₚ=1+rₚ=2z₂/(z₁+z₂). Доля прошедшей интенсивности Tᵢ=(z₁/z₂)tₚ²=4z₁z₂/(z₁+z₂)². Сумма Rᵢ+Tᵢ=1 проверяет сохранение энергии при отсутствии потерь.

При очень большом отношении импедансов отражение приближается к полному. Амплитуда прошедшего давления может при этом превышать падающую, но это не создаёт энергию: скорость частиц во второй среде меньше. Для оценки энергии обязательно учитывается её собственный импеданс.

Как пользоваться формулой

  1. Укажите, из какой среды падает волна: её импеданс обозначьте z₁, а импеданс второй среды — z₂.
  2. Проверьте нормальное падение и отсутствие дополнительных слоёв; приведите оба импеданса к одной единице.
  3. Вычислите разность z₂−z₁ и разделите на сумму, сохранив знак амплитудного коэффициента давления.
  4. Для доли отражённой энергии возведите rₚ в квадрат и проверьте, что Rᵢ+Tᵢ=1 в модели без потерь.

Историческая справка

Отражение звука стало частью классической волновой теории вместе с постановкой граничных условий для давления и движения среды. В отличие от геометрического закона равенства углов, расчёт амплитуды требует механики границы: необходимо согласовать и давление, и нормальную скорость частиц. В современных лекциях MIT по акустической океанографии этот переход рассматривается после вывода волнового уравнения и определения наблюдаемых величин. Курс весны 2012 года связывает коэффициенты отражения с плоскими границами, мягким и жёстким предельными условиями и удельным импедансом ρc. Такая учебная систематизация показывает применение общей теории к поверхности моря и дну. Дату современного курса нельзя считать датой открытия формулы: изложенный на странице результат непосредственно выводится из классических условий сопряжения.

Историческая линия формулы

Формула нормального отражения является следствием условий непрерывности давления и нормальной скорости. В океанской акустике она входит в общую теорию границ сред; здесь не устанавливается единоличный исторический приоритет над этим частным выводом.

Пример

Пусть для двух идеализированных жидкостей z₁=1,5 МПа·с/м и z₂=3,0 МПа·с/м. Общую единицу можно сократить в отношении: rₚ=(3,0−1,5)/(3,0+1,5)=1,5/4,5=1/3. Отражённое давление имеет положительный коэффициент, а отражённая доля интенсивности Rᵢ=1/9≈0,1111, то есть 11,11%. Проверим прохождение: tₚ=4/3, Tᵢ=(1,5/3,0)(4/3)²=8/9≈88,89%. Сумма равна единице. Несмотря на tₚ>1, прошедшая энергия не превышает падающую: второй импеданс вдвое выше. При обратном направлении rₚ станет −1/3, но доля отражённой энергии останется 1/9.

Частая ошибка

Не называйте rₚ долей отражённой энергии: сначала возведите его в квадрат. Не теряйте знак при обсуждении фазы давления. Не используйте tₚ² как долю прошедшей энергии без множителя z₁/z₂. Не переносите результат нормального падения на наклонное или на многослойную стенку.

Практика

Задачи с решением

Согласованная граница

Условие. z₁=z₂=400 Па·с/м. Найдите rₚ и Rᵢ.

Решение. Числитель z₂−z₁=0, поэтому rₚ=0 и Rᵢ=0.

Ответ. Отражение отсутствует в данной модели

Смена фазы

Условие. Волна идёт из среды z₁=900 в среду z₂=300 Па·с/м. Найдите отражение давления и энергии.

Решение. rₚ=(300−900)/(300+900)=−0,5. Rᵢ=(−0,5)²=0,25.

Ответ. rₚ=−0,5; отражено 25% интенсивности

Дополнительные источники

  • https://ocw.mit.edu/courses/2-682-acoustical-oceanography-spring-2012/58540cfbbdd42be15697f7a1523f343b_MIT2_682S12_bglec02.pdf
  • https://www.animations.physics.unsw.edu.au/jw/sound-impedance-intensity.htm

Связанные формулы

Физика

Удельный акустический импеданс среды: z = ρc

$z_0=\rho c=\frac{p}{u}$

Удельный характеристический акустический импеданс связывает звуковое давление и колебательную скорость частиц в плоской бегущей волне. Для однородной среды без потерь он равен произведению плотности на скорость звука.

Физика

Интенсивность звука через среднеквадратичное давление

$I=\frac{p_{\mathrm{rms}}^2}{\rho c}=\frac{p_{\max}^2}{2\rho c}$

Средняя интенсивность плоской бегущей звуковой волны равна квадрату RMS-давления, делённому на ρc. Для синусоиды вместо RMS можно взять амплитуду давления, но тогда в знаменателе появляется множитель 2.

Физика

Стоячая волна

$y=2A\sin kx\cos\omega t$

Стоячая волна возникает при сложении двух одинаковых встречных волн и может быть записана как y = 2A sin kx cos omega t.