Все формулы РФ

Физика / Механика

Первая космическая скорость

Первая космическая скорость у поверхности планеты равна корню из GM/R или, если известно g у поверхности, корню из gR для круговой орбиты.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаЕГЭФормулы по физике за 10 классФормулы по физике для ЕГЭМеханикаДинамикаМеханическое движениеКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$v_1=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{gR}$$
Орбита Горизонтальная скорость удерживает круговую орбиту
v1Fтяггравитация = центростремительная сила

Для высотной орбиты вместо R берут расстояние r = R + h.

Обозначения

$v_1$
первая космическая скорость, м/с
$G$
гравитационная постоянная, Н*м^2/кг^2
$M$
масса планеты, кг
$R$
радиус планеты или радиус орбиты у поверхности, м
$g$
ускорение свободного падения у поверхности, м/с^2

Условия применения

  • Орбита считается круговой, а тело движется около поверхности без учета атмосферы.
  • Планета рассматривается как сферически симметричное тело.
  • Сопротивление воздуха, вращение планеты и высота реальной орбиты в базовой формуле не учитываются.

Ограничения

  • Реальные спутники не могут двигаться прямо у поверхности Земли из-за атмосферы и рельефа.
  • Для орбиты на высоте h нужно использовать радиус r = R + h.
  • Первая космическая скорость не равна скорости ухода из поля тяготения; для ухода нужна вторая космическая скорость.

Подробное объяснение

На круговой орбите гравитация играет роль центростремительной силы. Для спутника массой m около планеты массой M записывают G M m/R^2 = m v^2/R. Масса спутника сокращается, один R также сокращается, и остается v^2 = GM/R. Отсюда v = sqrt(GM/R). Если использовать формулу g = GM/R^2, то GM/R = gR, поэтому появляется вторая удобная запись v1 = sqrt(gR).

Физический смысл первой космической скорости хорошо понимать через падение. Если тело бросить горизонтально медленно, оно упадет на поверхность. Если скорость очень велика, поверхность Земли уходит вниз из-за кривизны примерно настолько же, насколько тело падает под действием гравитации. В идеальной модели без атмосферы тело движется по окружности вокруг Земли.

Первая космическая скорость зависит от планеты: у массивной и компактной планеты она больше, у менее массивного тела меньше. Для реальных орбит у Земли используют расстояние от центра Земли до спутника, а не только радиус Земли. Чем выше круговая орбита, тем меньше требуемая орбитальная скорость, хотя полная энергия вывода на такую орбиту устроена сложнее.

Как пользоваться формулой

  1. Определите, дана ли масса планеты M и G или ускорение g у поверхности.
  2. Запишите радиус орбиты: у поверхности это R, на высоте это R + h.
  3. Выберите форму v = sqrt(GM/R) или v = sqrt(gR).
  4. Переведите радиус в метры и вычислите скорость в м/с.
  5. При необходимости переведите результат в км/с.

Историческая справка

Идея орбитальной скорости выросла из объединения кеплеровской астрономии и ньютоновской динамики. Кеплер установил закономерности движения планет вокруг Солнца, а Ньютон объяснил, что орбитальное движение можно понимать как непрерывное падение под действием гравитации при наличии достаточной горизонтальной скорости. В знаменитой ньютоновской мысленной картине с пушкой на высокой горе снаряд при достаточно большой скорости не падает на поверхность, а огибает Землю. Современная формула первой космической скорости является школьным выводом из равенства гравитационной и центростремительной сил. Она не описывает все инженерные сложности запуска, но точно передает основную механику круговой орбиты в идеальной модели.

Историческая линия формулы

Первая космическая скорость как школьная формула выводится из ньютоновского закона тяготения и центростремительной силы. Исторически она связана с законами Кеплера об орбитах и ньютоновским объяснением орбитального движения как падения вокруг планеты.

Пример

Для Земли возьмем g = 9,8 м/с^2 и R = 6,37*10^6 м. Тогда v1 = sqrt(gR) = sqrt(9,8 * 6,37*10^6) = sqrt(6,24*10^7) = примерно 7900 м/с, или 7,9 км/с. Это не скорость вертикального взлета, а горизонтальная скорость, при которой тело, падая к Земле под действием гравитации, все время промахивается мимо поверхности из-за кривизны Земли. В реальности спутники запускают на высоту, где атмосфера разрежена, поэтому расчет уточняют через r = R + h. Полученное число используют как идеальную нижнюю оценку для круговой орбиты у поверхности.

Частая ошибка

Частая ошибка - считать первую космическую скоростью, с которой ракета должна лететь вертикально вверх. На самом деле это горизонтальная орбитальная скорость для круговой орбиты. Вторая ошибка - использовать радиус в километрах вместе с g в м/с^2, получая ответ с неправильной размерностью. Еще одна ошибка - путать первую и вторую космические скорости: первая нужна для круговой орбиты, вторая - для ухода из гравитационного поля без возвращения.

Практика

Задачи с решением

Оценка для Земли

Условие. Используя g = 9,8 м/с^2 и R = 6,4*10^6 м, оцените первую космическую скорость.

Решение. v1 = sqrt(gR) = sqrt(9,8 * 6,4*10^6) = sqrt(6,272*10^7) = 7,9*10^3 м/с.

Ответ. примерно 7,9 км/с

Планета с меньшим радиусом

Условие. У планеты g = 4 м/с^2, радиус 2,5*10^6 м. Найдите первую космическую скорость у поверхности.

Решение. v1 = sqrt(gR) = sqrt(4 * 2,5*10^6) = sqrt(10^7) = 3162 м/с.

Ответ. примерно 3,16 км/с

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax College Physics 2e, раздел Satellites and Kepler's Laws: An Argument for Simplicity
  • OpenStax College Physics 2e, раздел Newton's Universal Law of Gravitation

Связанные формулы

Физика

Закон всемирного тяготения

$F=G\frac{m_1m_2}{r^2}$

Сила гравитационного притяжения двух тел прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами масс.