Все формулы РФ

Физика / Механика

Закон всемирного тяготения

Сила гравитационного притяжения двух тел прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами масс.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаЕГЭФормулы по физике за 10 классФормулы по физике для ЕГЭМеханикаДинамикаМеханическое движениеКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$F=G\frac{m_1m_2}{r^2}$$
Две массы Гравитация действует вдоль линии центров
m1m2rFF

Именно расстояние между центрами входит в квадрат знаменателя.

Обозначения

$F$
сила гравитационного притяжения, Н
$G$
гравитационная постоянная, Н*м^2/кг^2
$m_1$
масса первого тела, кг
$m_2$
масса второго тела, кг
$r$
расстояние между центрами масс, м

Условия применения

  • Тела можно считать материальными точками или сферически симметричными телами.
  • Расстояние r измеряется между центрами масс тел.
  • Задача рассматривается в рамках классической ньютоновской гравитации.

Ограничения

  • Для тел сложной формы на малых расстояниях требуется интегрировать вклад отдельных частей массы.
  • В сильных гравитационных полях и при очень высокой точности нужна общая теория относительности.
  • Нельзя подставлять расстояние между поверхностями планеты и тела вместо расстояния до центра масс.

Подробное объяснение

Закон всемирного тяготения утверждает, что любые две массы притягиваются. Чем больше массы, тем больше сила притяжения; чем дальше тела друг от друга, тем меньше сила, причем зависимость от расстояния квадратичная. Направлена сила вдоль линии, соединяющей центры масс. Поэтому Земля притягивает тело вниз, Луна притягивается Землей, а планеты удерживаются около Солнца.

Для сферически симметричных тел, таких как планеты в школьной модели, всю массу можно считать сосредоточенной в центре. Поэтому у поверхности Земли расстояние до центра примерно равно радиусу Земли. Подстановка закона тяготения дает g = GM/R^2, а сила для тела массой m становится F = mg. Так связываются две записи, которые сначала кажутся разными.

В задачах об орбитах закон тяготения часто приравнивают к центростремительной силе: G M m/r^2 = m v^2/r. Масса спутника сокращается, и можно найти орбитальную скорость. Это не означает, что гравитация исчезает; она как раз и обеспечивает нужное радиальное ускорение. Закон тяготения является одним из главных примеров того, как одна формула описывает и земные, и космические явления.

Как пользоваться формулой

  1. Определите массы двух тел и переведите их в килограммы.
  2. Найдите расстояние между центрами масс в метрах.
  3. Подставьте значение гравитационной постоянной G.
  4. Вычислите произведение масс и разделите на квадрат расстояния.
  5. Проверьте направление силы: она направлена вдоль линии соединения тел.

Историческая справка

Закон всемирного тяготения был опубликован Исааком Ньютоном в 1687 году в труде Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Его сила была в объединении земной и небесной механики: та же причина, которая заставляет тело падать на Землю, удерживает Луну на орбите. До Ньютона Иоганн Кеплер установил законы движения планет на основе астрономических наблюдений, но эти законы описывали движение, не объясняя его причиной. Ньютон показал, что закон обратных квадратов вместе с законами движения объясняет кеплеровы орбиты. Позднее Генри Кавендиш измерил гравитационную постоянную с высокой точностью для своего времени, что позволило численно определять массы небесных тел. В школьном курсе закон тяготения является центральным мостом от кинематики и динамики к астрономическим приложениям.

Историческая линия формулы

Автором закона всемирного тяготения в классической форме считается Исаак Ньютон. Кеплеровы законы движения планет были важной предшествующей основой, а измерения Кавендиша позднее дали численное значение гравитационной постоянной.

Пример

Найдем силу притяжения тела массой 10 кг Землей у поверхности. Возьмем G = 6,67*10^-11 Н*м^2/кг^2, массу Земли M = 5,97*10^24 кг, радиус Земли R = 6,37*10^6 м. F = G M m/R^2 = 6,67*10^-11 * 5,97*10^24 * 10 / (6,37*10^6)^2. Численно получается около 98 Н, что совпадает с привычной оценкой F = mg при g примерно 9,8 м/с^2. Это показывает, что школьная сила тяжести является частным случаем закона всемирного тяготения около поверхности Земли. Если поднять тело на большую высоту, вместо R придется брать R + h, и сила станет меньше.

Частая ошибка

Частая ошибка - брать r как высоту над поверхностью Земли, хотя в формуле нужно расстояние от центра Земли до тела: R Земли плюс высота. Вторая ошибка - забывать квадрат расстояния: при увеличении r в 2 раза сила уменьшается в 4 раза. Еще одна ошибка - использовать граммы и километры без перевода в СИ. В задачах на спутники также путают силу тяготения с центростремительной силой, хотя именно гравитация играет роль силы, создающей центростремительное ускорение.

Практика

Задачи с решением

Притяжение двух тел

Условие. Два тела массами 100 кг и 200 кг находятся на расстоянии 2 м. Найдите силу притяжения.

Решение. F = G m1 m2/r^2 = 6,67*10^-11 * 100 * 200 / 2^2 = 3,335*10^-7 Н.

Ответ. примерно 3,3*10^-7 Н

Изменение расстояния

Условие. Как изменится сила тяготения, если расстояние между телами увеличить в 3 раза?

Решение. F обратно пропорциональна r^2. При увеличении расстояния в 3 раза сила уменьшится в 3^2 = 9 раз.

Ответ. уменьшится в 9 раз

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax College Physics 2e, раздел Newton's Universal Law of Gravitation
  • OpenStax College Physics 2e, раздел Satellites and Kepler's Laws: An Argument for Simplicity

Связанные формулы

Физика

Первая космическая скорость

$v_1=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{gR}$

Первая космическая скорость у поверхности планеты равна корню из GM/R или, если известно g у поверхности, корню из gR для круговой орбиты.

Физика

Центростремительная сила

$F_c=m\frac{v^2}{R}=m\omega^2R$

Центростремительная сила равна произведению массы на центростремительное ускорение, направлена к центру окружности и является радиальной равнодействующей.