Математика / Алгебра
Произведение множителей вида x + a и x + b
Произведение двух линейных множителей с одинаковым первым членом раскрывается в квадратный трехчлен: коэффициент при x равен сумме a и b, свободный член - их произведению.
Формула
Обозначения
- $x$
- общая переменная в обоих линейных множителях
- a, b
- числа или выражения, прибавляемые к x
Условия применения
- Оба множителя имеют вид x + a и x + b.
- Раскрытие выполняется по правилу умножения многочлена на многочлен.
- Слагаемые ax и bx после раскрытия являются подобными и приводятся к (a + b)x.
Ограничения
- Формула в таком виде не подходит, если коэффициент при x в множителях не равен 1, например (2x + a)(x + b).
- При отрицательных a или b их знаки входят в сумму и произведение.
- Нельзя путать сумму a + b со свободным членом: свободный член равен ab.
Подробное объяснение
Формула является сокращенной записью умножения двучлена на двучлен. Каждый член первой скобки умножается на каждый член второй: x · x, x · b, a · x и a · b. После этого средние слагаемые bx и ax складываются.
Именно поэтому коэффициент при x равен a + b. Он появляется из двух произведений, где переменная x умножается на свободный член другой скобки. Свободный член результата равен ab, потому что он получается при умножении свободных членов.
Знаки a и b нужно учитывать как часть чисел. Если множитель x - 2, то a = -2. Тогда сумма и произведение могут иметь разные знаки: (-2) + 7 = 5, а (-2) · 7 = -14. Это помогает избежать механического раскрытия с ошибками.
В 7 классе формула полезна как промежуточный шаг между обычным умножением многочленов и формулами сокращенного умножения. При a = b она превращается в квадрат суммы: (x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2. Но в общем случае a и b могут быть разными.
Обратное чтение формулы готовит к разложению квадратных трехчленов: если свободный член равен произведению двух чисел, а коэффициент при x - их сумме, трехчлен можно представить как произведение таких скобок.
Алгебраическое преобразование считается надежным только тогда, когда сохранена структура выражения: скобки, знаки, показатели степеней и ограничения на знаменатели. Поэтому после применения формулы полезно выполнить короткую проверку подстановкой удобного числа или обратным раскрытием скобок.
Как пользоваться формулой
- Проверьте, что оба множителя имеют вид x + a и x + b.
- Определите a и b вместе со знаками.
- Запишите первый член результата: x^2.
- Сложите a и b и умножьте сумму на x.
- Перемножьте a и b для свободного члена.
- Проверьте раскрытие обычным умножением скобок или подстановкой числа.
Историческая справка
Умножение двучленов исторически связано с геометрическим представлением произведений как площадей. Произведение (x + a)(x + b) можно представить как площадь прямоугольника со сторонами x + a и x + b, разбитого на четыре меньших прямоугольника. Их площади дают x^2, ax, bx и ab.
Такие геометрические рассуждения встречались еще в античной математике, хотя буквенной записи в современном виде тогда не было. В арабской и европейской алгебре средневековья подобные преобразования постепенно перешли от словесных правил к символам.
Современная запись стала удобной после развития буквенной алгебры в XVI-XVII веках. В школьном курсе 7 класса формула служит наглядным примером того, как из общего правила умножения многочленов возникают устойчивые шаблоны, но сам шаблон всегда можно проверить обычным раскрытием скобок.
В учебниках нового времени эти правила закрепились как стандартная техника преобразований. Их историческое значение не в отдельной дате открытия, а в переходе от числовых примеров к общим буквенным равенствам, которые можно применять к целым классам выражений.
Пример
Дано: раскрыть скобки (x - 4)(x - 6) и проверить результат при x = 10. Здесь a = -4, b = -6. Подставляем в формулу: (x - 4)(x - 6) = x^2 + (-4 - 6)x + (-4)(-6) = x^2 - 10x + 24. Ответ: x^2 - 10x + 24. Проверка: при x = 10 исходное произведение равно (10 - 4)(10 - 6) = 6 · 4 = 24. Полученный трехчлен дает 10^2 - 10 · 10 + 24 = 100 - 100 + 24 = 24. Результаты совпали. Развернутая запись решения. Условие: Раскройте скобки: (x + 3)(x + 5). Дано: x - общая переменная в обоих линейных множителях; a, b - числа или выражения, прибавляемые к x. Требуется получить искомую величину и проверить ее по исходному условию. Подстановка и вычисление: (x + 3)(x + 5) = x^2 + (3 + 5)x + 3 · 5 = x^2 + 8x + 15. Ответ: x^2 + 8x + 15. Проверка выполняется обратным раскрытием, сворачиванием или подстановкой допустимого значения переменной. Исходная и полученная записи должны давать одинаковое число; это быстро обнаруживает потерянный знак, скобку или степень.
Частая ошибка
Часто свободный член ошибочно считают суммой a + b, хотя это произведение ab. Еще одна ошибка - потерять знак отрицательного числа: в (x - 4)(x + 1) значение a равно -4. Формула не подходит без изменений к выражению (2x + 3)(x + 5), потому что первый член не одинаковый x в обеих скобках. Для самопроверки удобно подставить простое значение переменной, например 1 или 2, если оно допустимо. Исходное и преобразованное выражения должны дать один и тот же результат; иначе потерян знак, скобка или показатель степени.
Практика
Задачи с решением
Раскрытие множителей
Условие. Раскройте скобки: (x + 3)(x + 5).
Решение. (x + 3)(x + 5) = x^2 + (3 + 5)x + 3 · 5 = x^2 + 8x + 15.
Ответ. x^2 + 8x + 15
Отрицательное число
Условие. Раскройте скобки: (x - 2)(x + 7).
Решение. a = -2, b = 7. Получаем x^2 + (-2 + 7)x + (-2) · 7 = x^2 + 5x - 14.
Ответ. x^2 + 5x - 14
Дополнительные источники
- ФИПИ. Открытый банк заданий ОГЭ по математике: преобразование многочленов
- Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. Алгебра. 7 класс. М.: Просвещение
- Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра. 7 класс. М.: Просвещение
Связанные формулы
Математика
Умножение многочлена на многочлен
Чтобы умножить многочлен на многочлен, каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго, затем приводят подобные слагаемые.
Математика
Умножение многочлена на одночлен
Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно умножить на этот одночлен каждый член многочлена и затем привести подобные слагаемые, если они появились.
Математика
Приведение подобных слагаемых
Приведение подобных слагаемых позволяет заменить сумму однотипных членов одним членом с общим буквенным множителем. Это базовое действие для упрощения выражений, решения линейных уравнений и подготовки многочленов к дальнейшим преобразованиям.
Математика
Разложение многочлена группировкой
Разложение группировкой помогает разложить многочлен на множители, если общий множитель виден не сразу во всех членах, но появляется после объединения слагаемых в пары или группы.
Математика
Равносильные преобразования уравнения
Равносильные преобразования меняют запись уравнения, но сохраняют все его решения. В 7 классе это основа переноса слагаемых, раскрытия скобок и деления на ненулевой коэффициент.
Математика
Вынесение общего множителя за скобки
Вынесение общего множителя за скобки превращает сумму одночленов с общей частью в произведение. Это первый и самый важный способ разложения многочлена на множители в 7 классе.