Математика / Функции и графики
Разность значений линейной функции
У линейной функции изменение значения равно коэффициенту k, умноженному на изменение аргумента. Свободный член при вычитании исчезает. Она связывает запись функции или ур.
Формула
Обозначения
- $y_1, y_2$
- значения линейной функции при аргументах x1 и x2, единицы зависимой величины
- $x_1, x_2$
- два значения аргумента, единицы аргумента
- $k$
- коэффициент изменения линейной функции, единиц y на единицу x
Условия применения
- Функция имеет вид y = kx + b.
- Оба значения y1 и y2 относятся к одной и той же функции.
- Разность x2 - x1 берется в том же порядке, что и y2 - y1.
Ограничения
- Формула не применима к нелинейным функциям, где изменение зависит от положения на графике.
- Если перепутать порядок вычитания, знак результата изменится.
- Свободный член b не нужен для разности, но нужен, если требуется найти сами значения y1 и y2.
Подробное объяснение
Разность значений показывает, как изменилась функция между двумя аргументами. Для y = kx + b при вычитании получаем (kx2 + b) - (kx1 + b). Свободные члены взаимно уничтожаются, и остается k(x2 - x1).
Эта формула раскрывает главный смысл коэффициента k. Он показывает не только наклон прямой, но и изменение значения функции на одну единицу аргумента. Если аргумент изменился на несколько единиц, изменение y во столько же раз больше.
Знак k определяет направление изменения. При k > 0 и x2 > x1 разность y2 - y1 положительна, значит функция возрастает. При k < 0 в той же ситуации разность отрицательна, значит функция убывает. Если k = 0, любое изменение аргумента не меняет y.
В задачах это удобно, когда начальное значение b неизвестно или не важно. Например, если тариф растет на 15 рублей за каждый километр, то разница стоимости для маршрутов, отличающихся на 4 км, равна 60 рублей независимо от посадочной платы.
Формула требует аккуратности с порядком. Нельзя одновременно считать x2 - x1 и y1 - y2: тогда знак будет неверным. Лучше заранее решить, от какого состояния к какому идет сравнение.
Перед подстановкой стоит проверить, в какой форме записана зависимость. Иногда уравнение надо сначала привести к стандартному виду, иначе коэффициенты будут прочитаны неверно. После вычисления координаты полезно выполнить обратную проверку: точка должна снова дать верное равенство.
Как пользоваться формулой
- Убедитесь, что зависимость линейная и известен коэффициент k.
- Определите начальный и конечный аргументы x1 и x2.
- Вычислите разность аргументов x2 - x1.
- Умножьте эту разность на коэффициент k.
- Сохраните знак результата: он показывает рост или убывание.
- При необходимости проверьте расчет отдельной подстановкой x1 и x2.
Историческая справка
Идея постоянного приращения была известна задолго до современной записи функций. В арифметических таблицах, торговых счетах и задачах на равномерное движение люди замечали: если величина меняется на одно и то же число за каждый шаг, то общий прирост пропорционален числу шагов. Это фактически линейное изменение.
С развитием буквенной алгебры такие зависимости стали записывать формулами. Координатный метод XVII века дал геометрический образ: постоянное отношение изменения y к изменению x соответствует прямой линии. В более поздней математике это отношение стало основой понятия углового коэффициента, а затем - предвестником идеи производной как скорости изменения.
В школьной алгебре 7 класса формула y2 - y1 = k(x2 - x1) остается на элементарном уровне. Она помогает увидеть, что линейность означает одинаковое изменение на равных промежутках, без обращения к сложным понятиям анализа.
В школьных учебниках XX-XXI веков линейная функция стала первым системным примером зависимости, где формула, таблица и график изучаются вместе. Поэтому вычисления по коэффициентам воспринимаются не как отдельный прием, а как часть координатного языка, возникшего из аналитической геометрии.
Пример
Дано: стоимость поездки описывается формулой y = 25x + 80, где x - километры, y - рубли. Нужно узнать, насколько поездка на 9 км дороже поездки на 4 км. Используем разность значений: y2 - y1 = k(x2 - x1) = 25(9 - 4) = 25 · 5 = 125. Ответ: поездка на 9 км дороже на 125 рублей. Проверка: отдельно y(9) = 25 · 9 + 80 = 305, y(4) = 25 · 4 + 80 = 180. Разность 305 - 180 = 125. Посадочная плата 80 рублей сократилась, потому что она одинакова в обеих поездках. Развернутая запись решения. Условие: Для y = 4x - 1 найдите, на сколько изменится y при переходе от x1 = 2 к x2 = 8. Дано: y_1, y_2 - значения линейной функции при аргументах x1 и x2; x_1, x_2 - два значения аргумента; k - коэффициент изменения линейной функции. Требуется получить искомую величину и проверить ее по исходному условию. Подстановка и вычисление: y2 - y1 = 4(8 - 2) = 4 · 6 = 24. Ответ: Значение функции увеличится на 24.. Проверка выполняется обратной подстановкой: найденное значение возвращают в исходную формулу или уравнение и смотрят, получается ли заданная координата или верное равенство. Это особенно важно при отрицательных коэффициентах и свободных членах.
Частая ошибка
Частая ошибка - прибавлять свободный член b к разности, хотя он сокращается. Другая ошибка - брать модуль изменения и терять знак: отрицательный результат важен, потому что показывает убывание. Также нельзя применять формулу к квадратичной или другой нелинейной зависимости: там один и тот же прирост x может давать разные изменения y. Надежная проверка - подставить найденную координату или значение обратно в исходную формулу. Если равенство не выполняется, обычно ошибка в знаке свободного члена, порядке координат или делении на коэффициент.
Практика
Задачи с решением
Прирост значения
Условие. Для y = 4x - 1 найдите, на сколько изменится y при переходе от x1 = 2 к x2 = 8.
Решение. y2 - y1 = 4(8 - 2) = 4 · 6 = 24.
Ответ. Значение функции увеличится на 24.
Убывание
Условие. Функция y = -3x + 10. Найдите изменение y от x1 = 1 до x2 = 5.
Решение. y2 - y1 = -3(5 - 1) = -12.
Ответ. Значение уменьшится на 12.
Дополнительные источники
- ФИПИ. Открытый банк заданий ОГЭ по математике: линейные функции и практические графики
- Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. Алгебра. 7 класс. М.: Просвещение
- Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра. 7 класс. М.: Вентана-Граф/Просвещение
Связанные формулы
Математика
Линейная функция
Линейная функция задает зависимость y = kx + b, где график представляет собой прямую, k отвечает за наклон, а b - за пересечение с осью Oy.
Математика
Угловой коэффициент прямой
Угловой коэффициент прямой равен отношению изменения y к изменению x между двумя разными точками этой прямой. Запись сразу показывает смысл результата и ограничения для подстановки.
Математика
Прямая пропорциональность
Прямая пропорциональность описывает зависимость, при которой одна величина равна другой величине, умноженной на постоянный коэффициент. Ее график проходит через начало координат.
Математика
Коэффициент пропорциональности
Коэффициент пропорциональности показывает, во сколько раз зависимая величина y отличается от ненулевой величины x в модели y = kx.
Математика
График линейной функции по двум точкам
Если известны две разные точки линейной функции, можно найти угловой коэффициент и построить прямую. Через две различные точки проходит единственная прямая.