Все формулы РФ

Математика / Алгебра

Теорема Виета для приведенного и полного квадратного уравнения

Теорема Виета связывает сумму и произведение корней квадратного уравнения с его коэффициентами. Для приведенного уравнения сумма равна -p, произведение равно q.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаФормулы по математике для ОГЭФормулы по математике за 8 классАлгебраЕсть историческая справка

Формула

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a},\quad x_1x_2=\frac{c}{a}$$

Обозначения

$x_1, x_2$
корни квадратного уравнения
a, b, c
коэффициенты ax^2 + bx + c = 0
$-b/a, c/a$
сумма и произведение корней

Условия применения

  • Уравнение квадратное, a не равно нулю.
  • Корни учитываются с кратностью.
  • Для действительных корней в 8 классе нужно существование таких корней.

Ограничения

  • Теорема не заменяет проверку дискриминанта.
  • Для неприведенного уравнения нельзя забывать деление на a.
  • Подбор целых корней не всегда возможен.

Подробное объяснение

Теорема Виета показывает связь между коэффициентами и корнями без прямого вычисления каждого корня по дискриминанту. Если квадратный трехчлен разложить на множители, коэффициенты автоматически выражаются через сумму и произведение корней.

Идея следует из равенства ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2). При раскрытии скобок получается a(x^2 - (x1 + x2)x + x1x2). Сравнение коэффициентов дает обе формулы.

Если коэффициент a равен 1, формулы особенно просты: для x^2 + px + q = 0 сумма корней равна -p, а произведение q. Поэтому теорема удобна для устного подбора целых корней.

В задачах теорема работает в обе стороны. По уравнению можно проверить корни, а по корням можно составить уравнение. Например, корни 2 и 7 дают x^2 - 9x + 14 = 0.

От формулы корней теорема отличается тем, что не всегда сразу находит значения. Она дает условия на пару корней, и эта пара должна удовлетворять двум равенствам одновременно.

Как пользоваться формулой

  1. Приведите уравнение к виду ax^2 + bx + c = 0.
  2. Запишите сумму корней как -b/a и произведение как c/a.
  3. Для приведенного уравнения используйте короткую форму.
  4. Подберите или проверьте пару чисел по двум условиям.
  5. Проверьте корни подстановкой или дискриминантом.

Историческая справка

Квадратные уравнения известны со времен древневавилонских задач о площадях и сторонах. В IX веке аль-Хорезми систематизировал методы решения уравнений словами, а европейская алгебра XVI-XVII веков превратила эти рассуждения в буквенные формулы. Дискриминант, формула корней и теорема Виета стали частью школьного языка тогда, когда алгебра стала массовым учебным предметом и потребовался универсальный алгоритм решения.

Для темы «Теорема Виета для квадратного уравнения» исторический контекст важен: современная формула не возникла как отдельная подсказка, а стала итогом долгого отбора удобной записи. Сначала решали конкретные практические или геометрические задачи, затем выделяли устойчивую связь величин, а учебники закрепляли ее как короткое правило. Поэтому формула одновременно служит вычислительным алгоритмом и способом увидеть структуру задачи.

Историческая линия формулы

Теорема названа в честь Франсуа Виета, одного из создателей новой буквенной алгебры XVI века. При этом связи коэффициентов и корней возникали в более ранних методах решения уравнений; современная школьная запись связана с символической традицией, которую Виет существенно развил.

Пример

Задача: решить x^2 - 9x + 20 = 0. Для приведенного уравнения сумма корней должна быть 9, произведение 20. Числа 4 и 5 дают сумму 9 и произведение 20. Ответ: 4 и 5. Проверка результата обязательна: подставляем найденное число обратно в исходную связь, следим за единицами и оцениваем ответ по смыслу. Если ответ должен быть длиной, площадью, временем или количеством, в конце записываем именно эту единицу, а не только число. Такой контроль помогает отличить верную формулу от похожего, но неподходящего правила.

Частая ошибка

Частая ошибка - забывать минус в сумме корней: сумма равна -b/a. Вторая ошибка - применять короткую форму к неприведенному уравнению. Третья ошибка - подобрать пару только по произведению и не проверить сумму. Чтобы избежать ошибки, перед вычислением полезно подписать все величины словами, проверить знак, единицы и соответствие элементов на чертеже или в условии. Если формула применима только при специальных условиях, эти условия записывают до подстановки, а не после получения ответа.

Практика

Задачи с решением

Подбор корней

Условие. Решите x^2 - 8x + 15 = 0.

Решение. Нужны числа с суммой 8 и произведением 15: это 3 и 5.

Ответ. 3; 5

Неприведенное уравнение

Условие. Для 2x^2 - 6x + 4 = 0 найдите сумму и произведение корней.

Решение. Сумма 6/2 = 3, произведение 4/2 = 2.

Ответ. 3 и 2

Дополнительные источники

  • ФИПИ. Кодификатор проверяемых требований ОГЭ по математике
  • Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Математика. Алгебра. Геометрия. Основная школа
  • OpenStax Prealgebra 2e and Elementary Algebra 2e: percents, radicals, quadratic equations, geometry

Связанные формулы

Математика

Обратная пропорциональность

$y=\frac{k}{x},\quad x\ne0$

Обратная пропорциональность задает зависимость, при которой произведение x и y постоянно. Если одна величина увеличивается, другая уменьшается во столько же раз.