Математика / Алгебра

Корни квадратного уравнения через дискриминант

Формула корней квадратного уравнения находит значения x, при которых ax^2 + bx + c обращается в ноль. Она использует дискриминант и коэффициенты уравнения.

Опубликовано: 26 мая 2026 г.Обновлено: 26 мая 2026 г.

Формула

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a},\quad D=b^2-4ac

Обозначения

$x_1, x_2$: корни квадратного уравнения
a, b, c: коэффициенты ax^2 + bx + c = 0
$D$: дискриминант

Условия применения

Коэффициент a не равен нулю.
Уравнение приведено к виду ax^2 + bx + c = 0.
Для действительных корней требуется D >= 0.

Ограничения

При D < 0 формула не дает действительных корней в 8 классе.
Если a = 0, уравнение линейное.
Ошибки в знаках коэффициентов дают неверные корни.

Подробное объяснение

Формула корней дает все действительные решения полного квадратного уравнения. Она показывает, что корни зависят от совместного выражения коэффициентов через дискриминант, а не от одного коэффициента отдельно.

Вывод формулы основан на выделении полного квадрата. Уравнение делят на a, преобразуют левую часть так, чтобы неизвестное стояло внутри квадрата, затем извлекают корень и переносят члены.

Знак дискриминанта управляет числом корней. При D > 0 значения с плюсом и минусом различны. При D = 0 обе ветви совпадают. При D < 0 действительных значений квадратного корня нет.

В задачах формула полезна, когда коэффициенты не позволяют быстро разложить трехчлен на множители. Она также служит проверкой для методов подбора и теоремы Виета: найденные корни должны давать правильную сумму и произведение.

Формула не отменяет более простые приемы. Неполное уравнение вроде x^2 - 9 = 0 быстрее решить как разность квадратов, но универсальная формула при аккуратной подстановке даст тот же результат.

Как пользоваться формулой

Приведите уравнение к стандартному виду.
Проверьте, что a не равно нулю.
Вычислите дискриминант.
Если D >= 0, подставьте D в формулу корней.
Проверьте найденные значения подстановкой.

Историческая справка

Квадратные уравнения известны со времен древневавилонских задач о площадях и сторонах. В IX веке аль-Хорезми систематизировал методы решения уравнений словами, а европейская алгебра XVI-XVII веков превратила эти рассуждения в буквенные формулы. Дискриминант, формула корней и теорема Виета стали частью школьного языка тогда, когда алгебра стала массовым учебным предметом и потребовался универсальный алгоритм решения.

Для темы «Корни квадратного уравнения» исторический контекст важен: современная формула не возникла как отдельная подсказка, а стала итогом долгого отбора удобной записи. Сначала решали конкретные практические или геометрические задачи, затем выделяли устойчивую связь величин, а учебники закрепляли ее как короткое правило. Поэтому формула одновременно служит вычислительным алгоритмом и способом увидеть структуру задачи.

Историческая линия формулы

У формулы «Корни квадратного уравнения» нет единственного автора в современном школьном смысле. Корректнее связывать ее с развитием алгебраической традиции решения квадратных уравнений: нынешняя запись стала стандартной после распространения буквенной символики, доказательных учебников и единой системы школьного курса.

Пример

Задача: решить x^2 - 5x + 6 = 0. a = 1, b = -5, c = 6. D = 25 - 24 = 1. x1 = (5 - 1)/2 = 2, x2 = (5 + 1)/2 = 3. Ответ: 2 и 3. Проверка результата обязательна: подставляем найденное число обратно в исходную связь, следим за единицами и оцениваем ответ по смыслу. Если ответ должен быть длиной, площадью, временем или количеством, в конце записываем именно эту единицу, а не только число. Такой контроль помогает отличить верную формулу от похожего, но неподходящего правила. Проверяем: 2^2 - 5*2 + 6 = 0 и 3^2 - 5*3 + 6 = 0, значит оба корня подходят.

Частая ошибка

Частая ошибка - писать в числителе b вместо -b. Вторая ошибка - забывать знаменатель 2a для обеих ветвей. Третья ошибка - подставлять коэффициенты из уравнения, где правая часть не равна нулю. Чтобы избежать ошибки, перед вычислением полезно подписать все величины словами, проверить знак, единицы и соответствие элементов на чертеже или в условии. Если формула применима только при специальных условиях, эти условия записывают до подстановки, а не после получения ответа.

Практика

Задачи с решением

Два корня

Условие. Решите x^2 - 7x + 10 = 0.

Решение. D = 49 - 40 = 9, x1 = 2, x2 = 5.

Ответ. 2; 5

Один корень

Условие. Решите x^2 + 4x + 4 = 0.

Решение. D = 0, x = -4/2 = -2.

Ответ. -2

Дополнительные источники

ФИПИ. Кодификатор проверяемых требований ОГЭ по математике
Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Математика. Алгебра. Геометрия. Основная школа
OpenStax Prealgebra 2e and Elementary Algebra 2e: percents, radicals, quadratic equations, geometry

Связанные формулы

Математика

Дискриминант квадратного уравнения в 8 классе

$D=b^2-4ac$

Дискриминант квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 показывает, сколько действительных корней может иметь уравнение и какие дальнейшие действия нужны.

Математика