Все формулы РФ

Математика / Алгебра

Дискриминант квадратного уравнения в 8 классе

Дискриминант квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 показывает, сколько действительных корней может иметь уравнение и какие дальнейшие действия нужны.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаФормулы по математике для ОГЭФормулы по математике за 8 классАлгебраЕсть историческая справка

Формула

$$D=b^2-4ac$$

Обозначения

$a$
коэффициент при x^2
$b$
коэффициент при x
$c$
свободный член
$D$
дискриминант

Условия применения

  • Уравнение записано как ax^2 + bx + c = 0.
  • Коэффициент a не равен нулю.
  • Коэффициенты выписаны со своими знаками.

Ограничения

  • Дискриминант сам по себе не является корнем.
  • Для действительных корней нужно учитывать знак D.
  • Неполные уравнения иногда проще решать разложением.

Подробное объяснение

Дискриминант - выражение из коэффициентов квадратного уравнения, которое отделяет разные случаи решения. Он стоит под квадратным корнем в формуле корней, поэтому его знак определяет, можно ли получить действительные корни.

Формула появляется при выделении полного квадрата в ax^2 + bx + c = 0. После преобразований возникает b^2 - 4ac. Если оно положительно, квадратный корень дает два разных значения; если равно нулю, значения совпадают.

Дискриминант зависит от всех трех коэффициентов. Изменение свободного члена c может превратить два корня в один или убрать действительные корни. Поэтому нельзя оценивать число корней только по знаку a или b.

В задачах дискриминант считают после приведения уравнения к стандартному виду. Он помогает выбрать ветку решения и избежать лишних вычислений: при отрицательном D в 8 классе действительных корней нет.

От формулы корней дискриминант отличается ролью. D - промежуточный показатель, а не окончательный ответ, если требуется найти x. После D > 0 или D = 0 нужно продолжить решение.

Как пользоваться формулой

  1. Приведите уравнение к виду ax^2 + bx + c = 0.
  2. Выпишите a, b и c с их знаками.
  3. Подставьте коэффициенты в D = b^2 - 4ac.
  4. Вычислите D, аккуратно раскрывая скобки.
  5. По знаку D определите количество действительных корней.

Историческая справка

Квадратные уравнения известны со времен древневавилонских задач о площадях и сторонах. В IX веке аль-Хорезми систематизировал методы решения уравнений словами, а европейская алгебра XVI-XVII веков превратила эти рассуждения в буквенные формулы. Дискриминант, формула корней и теорема Виета стали частью школьного языка тогда, когда алгебра стала массовым учебным предметом и потребовался универсальный алгоритм решения.

Для темы «Дискриминант квадратного уравнения» исторический контекст важен: современная формула не возникла как отдельная подсказка, а стала итогом долгого отбора удобной записи. Сначала решали конкретные практические или геометрические задачи, затем выделяли устойчивую связь величин, а учебники закрепляли ее как короткое правило. Поэтому формула одновременно служит вычислительным алгоритмом и способом увидеть структуру задачи.

Историческая линия формулы

У формулы «Дискриминант квадратного уравнения» нет единственного автора в современном школьном смысле. Корректнее связывать ее с развитием алгебраической традиции решения квадратных уравнений: нынешняя запись стала стандартной после распространения буквенной символики, доказательных учебников и единой системы школьного курса.

Пример

Задача: найти дискриминант уравнения 2x^2 - 5x + 2 = 0. Дано: a = 2, b = -5, c = 2. D = (-5)^2 - 4 · 2 · 2 = 25 - 16 = 9. Ответ: D = 9, уравнение имеет два действительных корня. Проверка результата обязательна: подставляем найденное число обратно в исходную связь, следим за единицами и оцениваем ответ по смыслу. Если ответ должен быть длиной, площадью, временем или количеством, в конце записываем именно эту единицу, а не только число. Такой контроль помогает отличить верную формулу от похожего, но неподходящего правила.

Частая ошибка

Часто забывают, что b может быть отрицательным, и записывают квадрат без скобок. Вторая ошибка - считать 4ac только произведением 4 и a. Третья ошибка - брать коэффициенты до переноса всех членов в одну часть. Чтобы избежать ошибки, перед вычислением полезно подписать все величины словами, проверить знак, единицы и соответствие элементов на чертеже или в условии. Если формула применима только при специальных условиях, эти условия записывают до подстановки, а не после получения ответа.

Практика

Задачи с решением

Два корня

Условие. Найдите D для x^2 - 6x + 8 = 0.

Решение. D = 36 - 32 = 4.

Ответ. D = 4

Нет корней

Условие. Найдите D для x^2 + 2x + 5 = 0.

Решение. D = 4 - 20 = -16.

Ответ. D = -16

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • ФИПИ. Кодификатор проверяемых требований ОГЭ по математике
  • Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Математика. Алгебра. Геометрия. Основная школа
  • OpenStax Prealgebra 2e and Elementary Algebra 2e: percents, radicals, quadratic equations, geometry

Связанные формулы

Математика

Обратная пропорциональность

$y=\frac{k}{x},\quad x\ne0$

Обратная пропорциональность задает зависимость, при которой произведение x и y постоянно. Если одна величина увеличивается, другая уменьшается во столько же раз.