Физика / Механика

Скорость тела, брошенного под углом к горизонту

Модуль скорости тела при броске под углом находят по горизонтальной и вертикальной составляющим скорости в выбранный момент времени.

Опубликовано: 26 мая 2026 г.Обновлено: 26 мая 2026 г.

Школьная программа ЕГЭ Формулы по физике за 10 класс Формулы по физике для ЕГЭ Механика Механическое движение Векторы Есть историческая справка

Формула

v=\sqrt{(v_0\cos\alpha)^2+(v_0\sin\alpha-gt)^2}

Схема Как читать формулу: скорость тела, брошенного под углом к горизонту

Перед подстановкой чисел полезно сверить модель на рисунке: траектория, компоненты скорости и высота.

Обозначения

$v$: модуль скорости в момент времени t, м/с
$v_0$: начальная скорость, м/с
$\alpha$: угол броска к горизонту, градусы или радианы
$t$: время от момента броска, с
$g$: ускорение свободного падения, м/с^2

Условия применения

Сопротивлением воздуха пренебрегают.
Ось Ox направлена горизонтально, а Oy вертикально вверх.
Ускорение свободного падения постоянно и направлено вниз.

Ограничения

Формула не учитывает изменение скорости из-за сопротивления воздуха.
Она дает модуль скорости; направление нужно находить отдельно по отношению vy/vx.
Если t относится к моменту до броска или после столкновения с поверхностью, модель неприменима.

Подробное объяснение

Скорость при броске под углом является вектором, поэтому ее нельзя находить одной скалярной формулой без учета направления. Горизонтальная составляющая равна v0 cos alpha и остается постоянной, если сопротивлением воздуха можно пренебречь. Вертикальная составляющая равна v0 sin alpha - gt, потому что сила тяжести постепенно уменьшает движение вверх, а затем увеличивает движение вниз.

Модуль полной скорости находится по теореме Пифагора для перпендикулярных составляющих: v = sqrt(vx^2 + vy^2). В верхней точке vy = 0, и скорость равна только горизонтальной составляющей. Перед падением на исходную высоту модуль скорости снова равен начальному модулю, но вертикальная составляющая имеет противоположный знак. Это удобно проверять через закон сохранения механической энергии.

Формула дает скорость в конкретный момент времени, а не среднюю скорость по траектории. Если нужно направление скорости, дополнительно находят угол к горизонту: tan beta = vy/vx. Знак vy показывает, движется тело вверх или вниз. Такая запись помогает избежать распространенной ошибки, когда в верхней точке скорость ошибочно считают нулевой.

Как пользоваться формулой

Разложите начальную скорость на vx = v0 cos alpha и v0y = v0 sin alpha.
Найдите вертикальную скорость в момент t: vy = v0y - gt.
Подставьте vx и vy в v = sqrt(vx^2 + vy^2).
При необходимости определите направление по tan beta = vy/vx.

Историческая справка

Расчет скорости при броске под углом связан с классической задачей о движении снарядов. Галилей показал, что движение можно рассматривать как сумму независимых горизонтального и вертикального движений. Это дало параболическую траекторию и позволило вычислять не только дальность, но и скорость в любой точке.

Ньютоновская механика объяснила эту независимость через векторное сложение движений и постоянное ускорение, создаваемое силой тяжести. Современная формула модуля скорости является прямым применением координатного метода и теоремы Пифагора к проекциям скорости. Она остается базовой для школьной кинематики и начальных инженерных оценок. В учебной традиции эта тема стала удобной проверкой понимания векторов: одна и та же траектория требует одновременно работать с компонентами скорости, ускорением и энергией. Поэтому формула скорости в произвольной точке закрепилась как связующее звено между геометрией траектории и динамическим смыслом движения.

Историческая линия формулы

Формула опирается на галилеево разложение движения снаряда и ньютоновское векторное описание скорости и ускорения. В учебной записи она получается из проекций скорости на горизонтальную и вертикальную оси. Отдельной авторской формулой она не является; это результат соединения галилеевой независимости движений по осям с более поздним векторным языком скорости.

Пример

Камень брошен со скоростью 25 м/с под углом 37 градусов. Пусть g = 10 м/с^2, sin 37° ≈ 0,6, cos 37° ≈ 0,8. Горизонтальная составляющая vx = 25 * 0,8 = 20 м/с. Через 2 с вертикальная составляющая vy = 25 * 0,6 - 10 * 2 = 15 - 20 = -5 м/с. Минус означает, что камень уже движется вниз. Модуль скорости v = sqrt(20^2 + (-5)^2) = sqrt(425) = 20,6 м/с. Направление можно оценить: tan beta = -5/20 = -0,25, то есть скорость направлена немного ниже горизонта. Проверка масштаба: скорость стала меньше начальных 25 м/с, потому что камень в этот момент находится выше точки броска и часть начальной кинетической энергии перешла в потенциальную. Единицы в обоих слагаемых под корнем одинаковы: это квадраты м/с, поэтому итог снова получается в м/с.

Частая ошибка

Самая частая ошибка - считать скорость в верхней точке равной нулю. Нулевой становится только вертикальная составляющая, а горизонтальная сохраняется. Вторая ошибка - складывать vx и vy как обычные числа вместо вычисления модуля через квадраты. Еще одна ошибка - забывать знак вертикальной скорости после прохождения вершины. Для модуля знак исчезает, но для направления движения он принципиален.

Практика

Задачи с решением

Скорость через секунду

Условие. Тело брошено со скоростью 20 м/с под углом 30 градусов. Найдите скорость через 1 с при g = 10 м/с^2.

Решение. vx = 20 cos 30° = 17,3 м/с. vy = 20 sin 30° - 10 * 1 = 10 - 10 = 0. v = sqrt(17,3^2 + 0^2) = 17,3 м/с.

Ответ. примерно 17,3 м/с

Скорость в верхней точке

Условие. Тело брошено со скоростью 12 м/с под углом 60 градусов. Какова скорость в верхней точке?

Решение. В верхней точке vy = 0, а vx = v0 cos alpha = 12 * 0,5 = 6 м/с. Поэтому модуль скорости равен 6 м/с.

Ответ. 6 м/с

Дополнительные источники

OpenStax College Physics 2e: Projectile Motion
ФИПИ: кодификатор ЕГЭ по физике, кинематика

Связанные формулы

Физика

Время подъема на максимальную высоту тела, брошенного под углом к горизонту

$t_{\uparrow}=\frac{v_0\sin\alpha}{g}$

Время подъема до верхней точки траектории равно начальной вертикальной составляющей скорости, деленной на ускорение свободного падения.

Физика

Максимальная высота подъема тела

$H=\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}$

Максимальная высота подъема при броске под углом равна квадрату начальной вертикальной скорости, деленному на удвоенное ускорение свободного падения.

Физика

Угол вектора мгновенной скорости

$\tan\beta=\frac{v_y}{v_x}$

Угол вектора мгновенной скорости к оси Ox находят по отношению вертикальной и горизонтальной составляющих скорости. Эта запись задает именно направление касательной к траектории, а не модуль скорости или ускорение тела.