Все формулы РФ

Физика / Механика

Время подъема на максимальную высоту тела, брошенного под углом к горизонту

Время подъема до верхней точки траектории равно начальной вертикальной составляющей скорости, деленной на ускорение свободного падения.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаЕГЭФормулы по физике за 10 классФормулы по физике для ЕГЭМеханикаМеханическое движениеКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$t_{\uparrow}=\frac{v_0\sin\alpha}{g}$$
Схема Как читать формулу: время подъема на максимальную высоту тела, брошенного под углом к горизонту
v0vxvyHтраектория, компоненты скорости и высота

Перед подстановкой чисел полезно сверить модель на рисунке: траектория, компоненты скорости и высота.

Обозначения

$t_{\uparrow}$
время подъема до максимальной высоты, с
$v_0$
модуль начальной скорости, м/с
$\alpha$
угол броска к горизонту, градусы или радианы
$g$
ускорение свободного падения, м/с^2

Условия применения

  • Сопротивлением воздуха пренебрегают.
  • Ускорение свободного падения считается постоянным и направленным вертикально вниз.
  • Начальная и конечная вертикальные скорости в верхней точке связаны уравнением v_y = v_{0y} - gt.

Ограничения

  • Формула не подходит для движения с заметным сопротивлением воздуха или сильным ветром.
  • Она описывает только подъем до вершины, а не полное время полета при разных высотах старта и падения.
  • При отрицательном или нулевом угле к горизонту отдельный этап подъема может отсутствовать.

Подробное объяснение

Движение тела, брошенного под углом, удобно разложить на горизонтальное и вертикальное. Горизонтальная составляющая скорости при отсутствии сопротивления воздуха остается постоянной, а вертикальная меняется из-за ускорения свободного падения. Именно вертикальная часть определяет, сколько времени тело будет подниматься. В момент максимальной высоты тело еще движется по горизонтали, но вертикальная скорость уже равна нулю.

Начальная вертикальная скорость равна v0 sin alpha. Далее она уменьшается по закону v_y = v0 sin alpha - gt. Чтобы найти верхнюю точку, нужно поставить v_y = 0. Тогда gt = v0 sin alpha, откуда получается t_up = v0 sin alpha / g. Формула показывает простую физическую идею: чем больше вертикальная составляющая начальной скорости, тем дольше подъем; чем больше g, тем быстрее скорость гасится.

Важно не путать время подъема с полным временем полета. Если тело стартует и падает на одну высоту, полное время вдвое больше времени подъема. Если же оно падает ниже или выше точки броска, симметрия нарушается, и полное время нужно искать из уравнения координаты. Но сам момент вершины всегда определяется условием нулевой вертикальной скорости.

Как пользоваться формулой

  1. Найдите вертикальную составляющую начальной скорости: v0y = v0 sin alpha.
  2. Проверьте, что в задаче можно пренебречь сопротивлением воздуха.
  3. Подставьте v0y и g в t_up = v0y / g.
  4. Если нужен полный полет, отдельно проверьте, равны ли высоты старта и приземления.

Историческая справка

Разложение броска под углом на независимые горизонтальное и вертикальное движения связано с развитием классической кинематики. Галилей показал, что при отсутствии сопротивления воздуха горизонтальное равномерное движение и вертикальное равноускоренное движение можно рассматривать независимо. Это позволило объяснить параболическую траекторию снарядов без отдельной силы, направленной вдоль траектории.

Позднее ньютоновская механика дала этому описанию общий динамический фундамент: ускорение тела вблизи поверхности Земли направлено вниз, а горизонтальная составляющая скорости сохраняется, если нет горизонтальных сил. Современная школьная формула времени подъема является прямым следствием этих идей и остается одним из базовых примеров применения проекций в кинематике.

Историческая линия формулы

Формула опирается на галилеево описание движения снарядов и ньютоновскую динамику. В современной записи она получается из уравнения равноускоренного движения вертикальной проекции скорости. Она не принадлежит одному автору как отдельный закон: это учебная форма более общего метода проекций, где вершина траектории задается условием нулевой вертикальной скорости.

Пример

Камень бросили с поверхности земли со скоростью 15 м/с под углом 60 градусов. При g = 9,8 м/с^2 вертикальная составляющая начальной скорости равна v0y = 15 sin 60° = 15 * 0,866 = 13,0 м/с. В верхней точке v_y = 0, поэтому t_up = 13,0 / 9,8 = 1,33 с. Это не означает, что камень остановился полностью: горизонтальная скорость v0 cos 60° = 7,5 м/с остается. Если камень вернется на высоту броска, весь полет продлится примерно 2,66 с, но если цель находится ниже, время падения после вершины будет больше.

Частая ошибка

Частая ошибка - подставлять cos alpha вместо sin alpha, хотя время подъема определяется вертикальной, а не горизонтальной составляющей скорости. Вторая ошибка - считать, что в верхней точке вся скорость равна нулю; нулевой становится только v_y, а v_x сохраняется. Еще одна ошибка - автоматически удваивать время подъема для полного времени полета, не проверив высоту приземления. В задачах с балкона, холма или возвышенной цели такой прием дает неверный ответ.

Практика

Задачи с решением

Подъем мяча

Условие. Мяч брошен со скоростью 20 м/с под углом 30 градусов к горизонту. Найдите время подъема при g = 10 м/с^2.

Решение. Вертикальная составляющая начальной скорости равна v0 sin alpha = 20 * 0,5 = 10 м/с. В верхней точке вертикальная скорость становится нулевой, поэтому t_up = 10 / 10 = 1 с.

Ответ. 1 с

По времени найти скорость

Условие. Тело поднималось до верхней точки 2 с, угол броска 45 градусов, g = 9,8 м/с^2. Найдите v0.

Решение. Из t_up = v0 sin alpha / g получаем v0 = gt_up / sin alpha. v0 = 9,8 * 2 / 0,707 = 27,7 м/с.

Ответ. примерно 27,7 м/с

Дополнительные источники

  • OpenStax College Physics 2e: Projectile Motion
  • ФИПИ: кодификатор ЕГЭ по физике, кинематика

Связанные формулы

Физика

Максимальная высота подъема тела

$H=\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}$

Максимальная высота подъема при броске под углом равна квадрату начальной вертикальной скорости, деленному на удвоенное ускорение свободного падения.