Все формулы РФ

Физика / Механика

Уравнение движения тела, брошенного под углом к горизонту

Уравнение траектории тела, брошенного под углом к горизонту, является параболой, если сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаЕГЭФормулы по физике за 10 классФормулы по физике для ЕГЭМеханикаМеханическое движениеКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$y=x\tan\alpha-\frac{gx^2}{2v_0^2\cos^2\alpha}$$
Схема Как читать формулу: уравнение движения тела, брошенного под углом к горизонту
v0vxvyHтраектория, компоненты скорости и высота

Перед подстановкой чисел полезно сверить модель на рисунке: траектория, компоненты скорости и высота.

Обозначения

$x$
горизонтальная координата от точки броска, м
$y$
вертикальная координата относительно точки броска, м
$v_0$
начальная скорость, м/с
$\alpha$
угол броска к горизонту, градусы или радианы
$g$
ускорение свободного падения, м/с^2

Условия применения

  • Начало координат выбрано в точке броска.
  • Сопротивлением воздуха пренебрегают.
  • Ось Ox горизонтальна, ось Oy направлена вертикально вверх.

Ограничения

  • При сопротивлении воздуха реальная траектория не является идеальной параболой.
  • Формула не подходит для вертикального броска, где cos alpha = 0 и x не является удобным параметром.
  • Если точка старта имеет ненулевую высоту в общей системе координат, ее нужно добавить отдельно.

Подробное объяснение

Уравнение траектории получается из двух независимых уравнений движения. По горизонтали x = v0 cos alpha * t, потому что горизонтальная скорость постоянна. По вертикали y = v0 sin alpha * t - gt^2/2, потому что действует ускорение свободного падения. Если из первого уравнения выразить время t = x/(v0 cos alpha) и подставить во второе, получится парабола y(x).

Первое слагаемое x tan alpha описывает прямолинейное движение по начальному направлению, как если бы тяжести не было. Второе слагаемое вычитает падение из-за ускорения g, причем оно растет как x^2. Поэтому на малых расстояниях траектория близка к прямой, а дальше все сильнее изгибается вниз.

Формула полезна для задач попадания: можно подставить координаты цели и проверить, проходит ли траектория через эту точку. Но она строго относится к идеализированной модели без воздуха. В реальных спортивных и баллистических движениях сопротивление воздуха делает траекторию несимметричной и уменьшает дальность, особенно при больших скоростях и легких телах.

Как пользоваться формулой

  1. Выберите начало координат в точке броска или добавьте начальную высоту отдельно.
  2. Проверьте, что угол не равен 90 градусам.
  3. Подставьте x, v0, alpha и g в уравнение траектории.
  4. Для дальности положите y = 0 и решите квадратное уравнение относительно x.

Историческая справка

Параболическая траектория снаряда стала одним из классических результатов новой физики XVII века. Галилей показал, что при отсутствии сопротивления среды горизонтальное и вертикальное движения независимы, а их сочетание дает параболу. Это было важным отличием от прежних представлений, где движение снаряда часто описывали качественно и без единой математической траектории.

Ньютоновская механика позже объяснила эту параболу действием постоянной силы тяжести около поверхности Земли. Уравнение траектории в координатной форме стало стандартным инструментом баллистики, инженерных расчетов и школьной кинематики. Оно показывает силу метода проекций: из двух простых одномерных уравнений получается полная форма движения в плоскости.

Историческая линия формулы

Уравнение параболической траектории связано с Галилеем и классической кинематикой движения снарядов. В современном виде оно выводится из уравнений равноускоренного движения по вертикали и равномерного движения по горизонтали. Его историческая роль в том, что оно превратило задачу о снаряде из качественной схемы в вычисляемую параболу с проверяемыми координатами цели.

Пример

Мяч брошен с земли со скоростью 30 м/с под углом 30 градусов. Нужно узнать, будет ли он выше 5 м на расстоянии 40 м. При g = 10 м/с^2: tan30° = 0,577, cos^2 30° = 0,75. y = 40 * 0,577 - 10 * 40^2 /(2 * 30^2 * 0,75) = 23,1 - 16000/1350 = 23,1 - 11,85 = 11,25 м. Значит, в идеальной модели мяч на этом расстоянии пройдет выше 5 м. Если учитывать воздух, фактическая высота может быть меньше. Проверка размерности второго слагаемого: g x^2 / v0^2 имеет единицы (м/с^2)*м^2/(м^2/с^2) = м, как и первое слагаемое x tan alpha. Значение 11,25 м физически возможно, потому что при скорости 30 м/с и угле 30 градусов начальная вертикальная скорость равна 15 м/с.

Частая ошибка

Частая ошибка - забыть квадрат cos alpha в знаменателе второго слагаемого. Вторая ошибка - подставлять угол в градусах в калькулятор, настроенный на радианы, или наоборот. Еще одна ошибка - применять формулу при вертикальном броске: тогда горизонтальная координата не меняется, и уравнение y(x) теряет смысл. Также важно помнить, что y отсчитывается от точки броска, а не обязательно от уровня земли.

Практика

Задачи с решением

Высота на расстоянии

Условие. Тело брошено со скоростью 20 м/с под углом 45 градусов. Найдите y при x = 20 м, g = 10 м/с^2.

Решение. tan45° = 1, cos^2 45° = 0,5. y = 20 - 10 * 400 /(2 * 400 * 0,5) = 20 - 10 = 10 м.

Ответ. 10 м

Дальность на исходную высоту

Условие. Из уравнения траектории найдите дальность при y = 0, v0 = 10 м/с, alpha = 30°, g = 10 м/с^2.

Решение. Ненулевой корень дает R = v0^2 sin 2alpha / g. R = 100 * sin60° / 10 = 8,66 м.

Ответ. примерно 8,7 м

Дополнительные источники

  • OpenStax College Physics 2e: Projectile Motion

Связанные формулы

Физика

Максимальная высота подъема тела

$H=\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}$

Максимальная высота подъема при броске под углом равна квадрату начальной вертикальной скорости, деленному на удвоенное ускорение свободного падения.