Физика / Электричество
Теплота Томсона в термоэлектрическом проводнике
Теплота Томсона описывает обратимое выделение или поглощение тепла внутри однородного проводника, по которому течёт ток при градиенте температуры.
Формула
При τ>0 и температуре, растущей вдоль оси x, ток к горячему концу даёт отрицательную мощность. Два столбца показывают результаты примера в Вт/м³.
Обозначения
- $p_T$
- объёмная мощность источника Томсона, положительная при нагреве, Вт/м³
- $τ$
- коэффициент Томсона, T·dS/dT при Π=ST, В/К
- $J$
- вектор плотности обычного электрического тока, А/м²
- $∇T$
- градиент температуры, направлен в сторону её роста, К/м
Условия применения
Проводник однороден по составу и изотропен, перенос описывается локальными линейными соотношениями. Коэффициент τ берут при местной температуре. Используется соглашение Π=ST и τ=T·dS/dT, при котором положительное p_T увеличивает локальный нагрев.
Ограничения
Знак p_T описывает только вклад Томсона. Суммарное изменение температуры определяется также джоулевым нагревом, теплопроводностью и условиями на границах. При большом перепаде нельзя заменять τ(T) одним числом без оценки изменения. Для скачка свойств на контакте отдельно учитывают эффект Пельтье.
Подробное объяснение
Градиент ∇T направлен туда, где температура растёт быстрее всего. Вклад Томсона определяется проекцией плотности тока на это направление. При τ>0 ток, направленный к более горячей стороне, даёт отрицательный p_T. Разворот тока при том же профиле температуры меняет знак p_T.
Связь коэффициентов выражается равенством τ=dΠ/dT−S. При Π=ST производная равна S+T·dS/dT, откуда τ=T·dS/dT. Поэтому вклад Томсона зависит от наклона S(T), даже когда сам коэффициент Зеебека велик. Постоянное S даёт нулевой τ.
В энергетическом балансе к p_T добавляют джоулеву мощность ρ|J|², где ρ — удельное сопротивление. Она не меняется при развороте тока. Если при измерении удаётся сохранить один температурный профиль, разность результатов для двух направлений тока выделяет вклад, нечётный по току.
Для стержня постоянного сечения A подставляют J_x=I/A и ∇T вдоль оси x. Интегрирование по объёму даёт P_T=−I∫τ(T)dT от температуры начала до температуры конца. При постоянном τ это −IτΔT. Мощность отдельного члена может быть отрицательной, хотя сумма с джоулевым вкладом остаётся положительной.
Как пользоваться формулой
- Выберите положительное направление оси и запишите знаки J_x и dT/dx относительно неё, не переходя к модулям.
- Возьмите τ при местной температуре и проверьте, что его определение согласовано с τ=T·dS/dT и соглашением о нагреве.
- Вычислите скалярное произведение J·∇T и умножьте его на −τ. Укажите результат в ваттах на кубический метр.
- Если нужна мощность участка, проинтегрируйте p_T по объёму и отдельно вычислите джоулев вклад для теплового баланса.
Историческая справка
В 1851 году Уильям Томсон рассмотрел тепловой баланс термопары. Из известных тогда зависимостей её электродвижущей силы от температуры он заключил, что обратимого теплообмена на спаях недостаточно для описания всего контура. Дополнительный вклад возникает внутри проводника, если по нему течёт ток при неоднородной температуре. Этот ход рассуждения приведён в собрании работ Национального бюро стандартов США по температурным измерениям.
В современной работе по компенсации нагрева, опубликованной в 2024 году, томсоновский и джоулев вклады записывают раздельно в локальном уравнении баланса. Авторы связывают знак томсоновской мощности с направлением тока и используют компенсацию вкладов для измерения коэффициента. Такой подход отличает объёмное выделение или поглощение от теплообмена на контактах.
Историческая линия формулы
Название относится к выводу Уильяма Томсона об обратимом теплообмене вдоль проводника с температурным градиентом. Здесь приведена современная локальная форма с плотностью тока. Знак соответствует соглашению о мощности, поступающей в рассматриваемый объём, и определению τ через коэффициенты Зеебека и Пельтье.
Пример
Пусть у однородного проводника в рассматриваемой точке τ=2,0 мкВ/К. Ось x направлена к горячему концу. Градиент равен 800 К/м, а плотность тока J_x=1,5·10⁶ А/м². Найдём объёмную мощность Томсона. Подстановка даёт p_T=−(2,0·10⁻⁶)(1,5·10⁶)(800)=−2400 Вт/м³. Отрицательный результат означает поглощение мощности током. При J_x=−1,5·10⁶ А/м² и неизменной температуре результат равен +2400 Вт/м³. Единицы согласованы: (В/К)(А/м²)(К/м)=Вт/м³. Если эти условия сохраняются в объёме 1 см³=10⁻⁶ м³, первый результат соответствует −2,4 мВт. По знаку этого члена нельзя определить знак суммы с джоулевым нагревом.
Частая ошибка
Не подставляйте полный ток вместо плотности, иначе потеряется площадь сечения. При развороте оси меняются обе проекции и скалярное произведение сохраняется. При физическом развороте только тока результат меняет знак. Не заменяйте τ коэффициентом Зеебека и не переносите объёмный член на контакт между материалами.
Практика
Задачи с решением
Разворот тока при постоянном градиенте
Условие. τ=1,2 мкВ/К, J_x=2,0·10⁶ А/м², dT/dx=500 К/м. Найдите p_T до и после разворота тока.
Решение. До разворота −1,2·10⁻⁶·2,0·10⁶·500=−1200 Вт/м³. После разворота меняется знак J_x, поэтому p_T=+1200 Вт/м³.
Ответ. −1200 Вт/м³ и +1200 Вт/м³.
Мощность участка проводника
Условие. τ=−3 мкВ/К, J_x=8·10⁵ А/м², dT/dx=300 К/м, длина 1 см, сечение 2 мм². Найдите p_T и P_T.
Решение. p_T=−(−3·10⁻⁶)·8·10⁵·300=720 Вт/м³. Объём равен 0,01·2·10⁻⁶=2·10⁻⁸ м³. P_T=720·2·10⁻⁸=14,4 мкВт.
Ответ. 720 Вт/м³ и 14,4 мкВт.
Дополнительные источники
- https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC11433131/
- https://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/Legacy/SP/nbsspecialpublication300v2.pdf
Связанные формулы
Физика
Эффект Зеебека: ЭДС термопары по разности температур
ЭДС термопары определяется разностью температур измерительного и опорного спаев и термоэлектрическими свойствами пары материалов. При постоянном коэффициенте Зеебека зависимость линейна.
Физика
Эффект Пельтье: обратимая теплота на контакте
На контакте разных проводников ток вызывает обратимое поглощение или выделение теплоты. Мощность Пельтье пропорциональна току и меняет знак при изменении его направления.
Физика
Закон Джоуля-Ленца
Закон Джоуля — Ленца определяет теплоту, выделенную током в резисторе: Q = I²Rt. При постоянных сопротивлении и времени удвоение тока увеличивает выделенную теплоту в четыре раза.