Физика / Термодинамика
Уравнение теплового баланса без потерь
В теплоизолированной системе теплота, отданная одними телами, равна теплоте, полученной другими. Если полученную теплоту считать положительной, сумма всех Q равна нулю.
Формула
Два тела показаны стрелками теплообмена: горячее тело отдает отрицательное Q, холодное получает положительное Q, сумма равна нулю.
Баланс работает только после выбора системы и правила знаков.
Обозначения
- $Q_i$
- количество теплоты, полученное или отданное i-м телом, Дж
- $n$
- число тел или тепловых процессов в системе
Условия применения
- Тела обмениваются энергией внутри выбранной системы, а теплообменом с окружающей средой и внешней работой пренебрегают.
- Для каждого тела известны начальное состояние и необходимые тепловые характеристики; конечное равновесие означает общую температуру.
Ограничения
- Если сосуд заметно нагревается, его теплоту включают отдельным слагаемым; исключить сосуд можно только по условию задачи.
- При плавлении, кипении или другом переходе к cmΔt добавляют соответствующие энергии переходов и проверяют, завершился ли переход.
Подробное объяснение
Горячее тело отдает энергию более холодному. Если система не получает энергию извне и не отдает ее наружу, полученное одними телами компенсирует отданное другими. В записи Q₁ + Q₂ = 0 положительное Q означает получение энергии, отрицательное — отдачу.
Для двух порций воды без фазового перехода можно записать cm₁(t − t₁) + cm₂(t − t₂) = 0. Здесь t — одна общая конечная температура. Поскольку вещество одинаково, c сокращается, и t = (m₁t₁ + m₂t₂)/(m₁ + m₂). Это среднее с учетом масс; обычное среднее двух температур получится лишь при равных массах.
Другой способ записи использует положительные количества: cm горяч(t горяч − t) = cm холод(t − t холод). Он дает тот же ответ. Нельзя одновременно брать положительные модули отданной и полученной теплоты и складывать их до нуля: нужно выбрать одно правило знаков.
В простой задаче смешивания без фазового перехода конечная температура должна находиться между начальными. Если она выше горячей или ниже холодной, проверьте знак и подстановку. Сосуд, ложка или калориметр тоже могут получать теплоту. Когда их влияние не пренебрежимо, в баланс добавляют их массу и теплоемкость или общую теплоемкость сосуда. Это физическая модель замкнутого теплообмена, а не правило безусловного усреднения любых температур.
Как пользоваться формулой
- Определите границы системы: какие порции вещества и сосуды обмениваются энергией и чем можно пренебречь.
- Обозначьте общую конечную температуру одной буквой и выберите правило знаков теплоты.
- Запишите для каждого тела cm(t конеч − t нач); добавьте фазовые переходы, только если они есть.
- Решите уравнение суммы теплот и проверьте допустимый диапазон конечной температуры и баланс энергий.
Историческая справка
Уравнение теплового баланса выросло из калориметрических задач: нужно было сопоставить охлаждение одного тела и нагрев другого. Температуры сами по себе для этого недостаточны — требуются массы и теплоемкости. Исследования теплоемкости и скрытой теплоты в XVIII веке создали основу количественного сравнения таких процессов.
В современном изложении баланс следует из сохранения энергии. Для системы без внешней работы и теплообмена увеличение внутренней энергии одной части компенсирует уменьшение энергии другой. Формулы cmΔt и λm описывают отдельные вклады, которые складываются в одном уравнении.
Школьная задача смешивания воды особенно проста, потому что теплоемкость одинакова и сокращается. Но это не самостоятельный закон среднего арифметического. Связь с общим энергетическим балансом объясняет, почему при добавлении нагреваемого сосуда, льда или внешних потерь уравнение нужно расширять, а правило простого усреднения перестает работать.
Историческая линия формулы
Тепловой баланс относится к калориметрии и современному закону сохранения энергии. Его не следует приписывать одному автору формулы смешивания: учет масс, теплоемкостей и фазовых переходов представляет применение общего энергетического принципа.
Пример
Смешали 0,2 кг воды при 80 °C и 0,3 кг воды при 20 °C. Сосудом и потерями пренебрегаем. Конечная температура t = (0,2 × 80 + 0,3 × 20)/(0,2 + 0,3) = (16 + 6)/0,5 = 44 °C. Проверим энергии при c = 4200 Дж/(кг·°C). Горячая вода: Q₁ = 4200 × 0,2 × (44 − 80) = −30240 Дж. Холодная: Q₂ = 4200 × 0,3 × (44 − 20) = 30240 Дж. Сумма равна нулю. Температура 44 °C лежит между 20 и 80 °C и ближе к холодной воде, которой больше. Обычное среднее 50 °C здесь неверно: массы порций не равны. Обе порции остаются жидкими, поэтому теплота перехода в баланс не входит.
Частая ошибка
Не усредняйте температуры без учета масс и теплоемкостей. Не используйте для двух тел разные конечные температуры, если ищете полное равновесие. Не складывайте положительные модули обеих теплот и не приравнивайте их сумму к нулю. Не исключайте теплоемкость сосуда, если она дана и по условию существенна.
Практика
Задачи с решением
Равные массы
Условие. Смешали одинаковые массы воды при 70 и 30 °C. Потерь нет, сосудом пренебрегают.
Решение. При равных массах и одинаковом c: t = (70 + 30)/2 = 50 °C.
Ответ. 50 °C
Найти массу
Условие. К 0,2 кг воды при 80 °C добавляют воду при 20 °C, чтобы получить 40 °C. Потерь нет. Сколько холодной воды нужно?
Решение. 0,2c(80 − 40) = mc(40 − 20). m = 0,2 × 40/20 = 0,4 кг.
Ответ. 0,4 кг
Калькулятор
Смешивание двух порций воды
Подставьте величины в указанных единицах.
- Одинаковая теплоемкость воды; без льда, пара, внешних потерь и нагрева сосуда.
Дополнительные источники
- OpenStax, College Physics 2e, §14.2 Temperature Change and Heat Capacity: https://openstax.org/books/college-physics-2e/pages/14-2-temperature-change-and-heat-capacity
- OpenStax, College Physics 2e, §15.1 The First Law of Thermodynamics: https://openstax.org/books/college-physics-2e/pages/15-1-the-first-law-of-thermodynamics
- Эдинбургский университет, School of Chemistry: Joseph Black (1728–1799): https://chem.ed.ac.uk/about-us/history/professors/joseph-black
Связанные формулы
Физика
Количество теплоты при нагревании
Количество теплоты при нагревании равно произведению удельной теплоемкости, массы и изменения температуры: Q = cmΔt. Эта связь применима без плавления, кипения и других фазовых переходов.
Физика
Удельная теплоемкость через количество теплоты
Удельная теплоемкость показывает, сколько теплоты нужно одному килограмму вещества для нагревания на один градус, и позволяет сравнивать тепловые свойства материалов.
Физика
Количество теплоты при плавлении
Для плавления кристаллического вещества при температуре плавления нужна теплота Q = λm. Удельная теплота плавления λ показывает затраты энергии на один килограмм вещества.