Все формулы РФ

Математика / Геометрия

Третий признак равенства треугольников

Третий признак равенства треугольников утверждает: если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого, треугольники равны. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаФормулы по математике за 7 классГеометрияВиды треугольников, признаки равенстваПланиметрияЕсть историческая справкаСтраницы с задачами и решениями

Формула

$$AB=A_1B_1,\ BC=B_1C_1,\ AC=A_1C_1\Rightarrow \triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1$$
Чертеж Схема: третий признак равенства треугольников

На рисунке отмечены прямые, вершина угла и дуги равных или дополнительных углов; подписи показывают, какие величины входят в формулу.

Чертеж помогает отделить заданные углы от тех, которые нужно найти по равенству или сумме.

Обозначения

AB, BC, AC
стороны первого треугольника, единицы длины
$A_1B_1, B_1C_1, A_1C_1$
соответствующие стороны второго треугольника, единицы длины
$\cong$
равенство треугольников

Условия применения

  • Доказаны три пары равных соответствующих сторон.
  • Каждая тройка длин удовлетворяет неравенству треугольника, если речь о построении.
  • Соответствие сторон должно задавать один порядок вершин.
  • После применения признака равными считаются соответствующие углы.

Ограничения

  • Нельзя ограничиться равенством периметров: нужны равенства каждой пары соответствующих сторон.
  • Если перепутать соответствие сторон, выводы об углах могут стать неверными.
  • Признак не применяют к вырожденным тройкам, где одна длина равна сумме двух других.
  • Для доказательства равенства углов сначала нужно доказать равенство треугольников.

Подробное объяснение

Три стороны полностью определяют размер и форму треугольника, если они могут образовать треугольник. Поэтому два треугольника с попарно равными сторонами можно совместить наложением: соответствующие вершины совпадут, и все углы тоже окажутся равными.

Геометрически это связано с пересечением окружностей. Если сторона AB уже зафиксирована, то точка C должна находиться на окружности с центром A радиуса AC и на окружности с центром B радиуса BC. Для заданных длин возможны симметричные положения относительно AB, но получающиеся треугольники равны.

Признак отличается от равенства периметров. Одинаковая сумма сторон не задает сами стороны: разные наборы длин могут иметь один и тот же периметр. Поэтому в доказательстве нужно перечислить все три пары равных сторон.

Третий признак часто помогает доказать равенство углов. Если стороны доказаны, то после равенства треугольников соответствующие углы равны автоматически. Это особенно удобно в задачах с окружностями, где равенства радиусов дают пары сторон.

Как и в других признаках, важен порядок вершин. Запись triangle ABC congruent triangle A1B1C1 сообщает, какие стороны и углы соответствуют друг другу. Без этого легко сделать правильное доказательство равенства, но неверный итоговый вывод.

Как пользоваться формулой

  1. Выберите два треугольника и установите соответствие их вершин.
  2. Найдите первую пару равных сторон.
  3. Найдите вторую пару равных сторон.
  4. Найдите третью пару равных сторон, включая возможную общую сторону.
  5. Запишите равенство треугольников по третьему признаку.
  6. Используйте равенство соответствующих углов или сторон для завершения задачи.

Историческая справка

Третий признак равенства треугольников известен как SSS, side-side-side. Он восходит к классической геометрии построений, где треугольник по трем сторонам является одной из базовых задач с циркулем и линейкой.

В евклидовой традиции равенство треугольников было инструментом доказательства свойств фигур. Третий признак особенно естественен для задач с окружностями: равные радиусы сразу дают равные стороны, а затем через равенство треугольников получают углы.

В школьной геометрии 7 класса третий признак завершает набор первых признаков равенства. Вместе с признаками по двум сторонам и углу между ними, а также по стороне и двум углам, он формирует базовый язык доказательных задач. В учебной традиции эта запись закрепилась потому, что она сокращает длинное рассуждение до проверяемого правила: сначала формулируются условия, затем выполняется преобразование, а результат можно проверить обратной подстановкой или геометрической интерпретацией.

Пример

Задача. Точки A и B являются центрами двух окружностей одинакового радиуса, которые пересекаются в точках C и D. Доказать, что угол ACB равен углу ADB. Дано: AC=AD как радиусы окружности с центром A. BC=BD как радиусы окружности с центром B. Сторона AB общая для треугольников ACB и ADB, значит AB=AB. По третьему признаку треугольники ACB и ADB равны. Следовательно, соответствующие углы ACB и ADB равны. Ответ: угол ACB равен углу ADB. Проверка: использованы три пары сторон: две пары радиусов и общая сторона. Вывод об углах сделан как следствие равенства треугольников. Дополнительная проверка: сравниваем результат с исходной записью при допустимых значениях переменных или на граничном случае из условия. Если обе записи дают одно и то же значение и не нарушают ограничения, преобразование выполнено согласованно.

Частая ошибка

Частая ошибка — использовать равенство периметров вместо трех отдельных равенств сторон. Вторая ошибка — назвать общую сторону, но забыть две остальные пары или перепутать соответствие. Иногда учащиеся пытаются применить третий признак к трем отрезкам, которые не образуют треугольник. Еще одна ошибка — после доказательства равенства треугольников неверно определить, какие углы являются соответствующими.

Практика

Задачи с решением

Три стороны

Условие. Даны AB=DE, BC=EF, AC=DF. Что следует о треугольниках ABC и DEF?

Решение. Три стороны одного треугольника равны трем соответствующим сторонам другого, значит треугольники равны по третьему признаку.

Ответ. triangle ABC congruent triangle DEF

Периметр не достаточен

Условие. У двух треугольников периметр 12. Следует ли их равенство?

Решение. Нет. Например, стороны 3,4,5 и 2,5,5 имеют один периметр, но треугольники не равны.

Ответ. Не следует.

Дополнительные источники

  • Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 7-9 классы, третий признак равенства треугольников
  • Погорелов А.В. Геометрия. 7-9 классы, равенство треугольников
  • ФИПИ, кодификатор ОГЭ по математике, треугольники

Связанные формулы

Математика

Неравенство треугольника

$a+b>c,\quad a+c>b,\quad b+c>a$

В любом треугольнике сумма длин двух сторон больше длины третьей стороны. Это условие проверяет, можно ли построить треугольник по трем отрезкам.

Математика

Периметр треугольника

$P = a + b + c$

Периметр треугольника: периметр треугольника равен длине всей его границы. В вычислениях это записывают как P = a + b + c, если обозначения выбраны как в формуле.

Математика

Сумма углов треугольника

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Сумма углов треугольника: три внутренних угла любого треугольника вместе образуют 180 градусов. В вычислениях это записывают как alpha + beta + gamma = 180 градусов, если обозначения выбраны как в формуле.

Математика

Внешний угол треугольника

$\alpha_{\text{внеш}} = \beta + \gamma$

Внешний угол треугольника: внешний угол при вершине треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В вычислениях это записывают как alpha внеш = beta + gamma, если обозначения выбраны как в формуле.

Математика

Вертикальные углы

$\alpha = \beta$

Вертикальные углы: вертикальные углы возникают при пересечении двух прямых и лежат напротив друг друга. В вычислениях это записывают как alpha = beta, если обозначения выбраны как в формуле.

Математика

Сумма смежных углов

$\alpha + \beta = 180^\circ$

Сумма смежных углов: смежные углы имеют общую сторону, а две другие стороны образуют прямую. В вычислениях это записывают как alpha + beta = 180 градусов, если обозначения выбраны как в формуле.