Математика / Геометрия

Угол между биссектрисами смежных углов

Биссектрисы двух смежных углов взаимно перпендикулярны. Их угол равен 90 градусам, потому что смежные углы в сумме дают 180 градусов. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.

Опубликовано: 25 мая 2026 г.Обновлено: 25 мая 2026 г.

Школьная программа Формулы по математике за 7 класс Геометрия Геометрия на плоскости Планиметрия Есть историческая справка Страницы с задачами и решениями

Формула

\frac{\alpha}{2}+\frac{180^\circ-\alpha}{2}=90^\circ

Чертеж Схема: угол между биссектрисами смежных углов

На рисунке отмечены прямые, вершина угла и дуги равных или дополнительных углов; подписи показывают, какие величины входят в формулу.

Чертеж помогает отделить заданные углы от тех, которые нужно найти по равенству или сумме.

Обозначения

$alpha$: один из смежных углов, градусы
$180°-alpha$: второй смежный угол, градусы
$90°$: угол между биссектрисами смежных углов, градусы

Условия применения

Даны именно смежные углы: они имеют общую сторону, а две другие стороны образуют прямую.
Проведены биссектрисы обоих смежных углов.
Углы измеряются в градусах в школьной записи.

Ограничения

Для любых двух несмежных углов вывод о 90 градусах неверен.
Если проведена биссектриса только одного угла, угол между двумя биссектрисами не определен.
Нужно различать биссектрисы углов и произвольные лучи внутри углов.
На чертеже перпендикулярность нужно доказывать, а не только видеть визуально.

Подробное объяснение

Смежные углы в сумме равны 180°. Если один из них обозначить alpha, то второй равен 180°-alpha. Биссектриса делит каждый угол пополам, поэтому около общей стороны появляются углы alpha/2 и (180°-alpha)/2.

Угол между биссектрисами складывается из этих двух половин. Сумма alpha/2+(180°-alpha)/2 равна 180°/2, то есть 90°. Поэтому биссектрисы смежных углов образуют прямой угол.

Главная особенность результата в том, что он не зависит от величины исходного угла. Смежные углы могут быть 40° и 140° или 85° и 95°, но половины всегда дадут 90°.

В доказательствах это свойство часто используют в обратную сторону: если нужно доказать перпендикулярность двух лучей, можно показать, что они являются биссектрисами смежных углов.

Важно, что речь идет именно о биссектрисах двух смежных углов. Для вертикальных, внутренних или произвольных соседних углов такой вывод без дополнительных условий делать нельзя.

Для записи «Угол между биссектрисами смежных углов» важно сохранять исходные условия: они показывают, когда вывод остается верным и когда похожая по виду ситуация требует другого правила.

Эта запись также показывает, почему результат удобно использовать как признак перпендикулярности. Если в условии уже доказано, что два луча делят смежные углы пополам, то отдельное измерение угла между ними не требуется: сумма половин автоматически равна 90 градусам.

Как пользоваться формулой

Проверьте, что углы действительно смежные.
Обозначьте один угол через alpha.
Запишите второй угол как 180°-alpha.
Разделите оба угла пополам, потому что проведены биссектрисы.
Сложите полученные половины.
Сделайте вывод о прямом угле и перпендикулярности биссектрис.

Историческая справка

Свойство биссектрис смежных углов относится к базовой евклидовой геометрии углов. Оно опирается на два классических факта: смежные углы составляют развернутый угол, а биссектриса делит угол на две равные части.

В древней геометрии такие утверждения использовались для построения перпендикуляров и доказательства равенства углов без численного измерения. Развернутый и прямой угол были важными эталонами еще до современной градусной записи.

В школьной геометрии 7 класса свойство удобно связывает темы смежных углов, биссектрис и перпендикулярных прямых. Оно показывает, как несколько простых определений дают новый вывод, который затем можно использовать в более сложных доказательствах. В учебной традиции эта запись закрепилась потому, что она сокращает длинное рассуждение до проверяемого правила: сначала формулируются условия, затем выполняется преобразование, а результат можно проверить обратной подстановкой или геометрической интерпретацией.

Историческая линия формулы

Единственного автора у свойства нет. Оно следует из определений смежных углов и биссектрисы в евклидовой геометрии. Исторически это часть классической доказательной традиции, а не отдельная именная теорема. Поэтому в источниках обычно указывают учебную или научную традицию, а не единственного автора короткой записи.

Пример

Задача. Угол AOB равен 124°, а угол BOC смежный с ним. Луч OM — биссектриса угла AOB, луч ON — биссектриса угла BOC. Найти угол MON. Дано: угол AOB=124°. Тогда угол BOC=180°-124°=56°. Биссектриса OM делит первый угол пополам: MOB=124°/2=62°. Биссектриса ON делит второй угол пополам: BON=56°/2=28°. Угол между биссектрисами равен MOB+BON=62°+28°=90°. Ответ: угол MON равен 90°. Проверка: можно не использовать число 124° напрямую в конце, потому что половины смежных углов всегда дают половину 180°, то есть прямой угол. Дополнительная проверка: результат можно сверить подстановкой в исходные данные или повторным вычислением по общей формуле. Совпадение подтверждает, что условие применено без потери знака, стороны или угла.

Частая ошибка

Часто учащиеся складывают сами смежные углы и получают 180°, забывая, что нужны половины. Вторая ошибка — применять свойство к любым соседним углам, которые не образуют линейную пару. Иногда биссектрису одного угла принимают за биссектрису второго без доказательства. Еще одна ловушка — считать результат зависящим от alpha, хотя alpha сокращается при сложении половин.

Практика

Задачи с решением

Проверка по числам

Условие. Один смежный угол равен 70°. Найти угол между биссектрисами двух смежных углов.

Решение. Второй угол равен 110°. Половины: 35° и 55°. Их сумма 90°.

Ответ. 90°

Доказательство перпендикулярности

Условие. Два угла смежные, проведены их биссектрисы. Что можно сказать о биссектрисах?

Решение. Половины смежных углов имеют сумму половины 180°, то есть 90°. Значит биссектрисы перпендикулярны.

Ответ. Перпендикулярны.

Дополнительные источники

Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 7-9 классы, смежные и вертикальные углы
Погорелов А.В. Геометрия. 7-9 классы, углы и биссектрисы
ФИПИ, открытый банк заданий ОГЭ по математике, углы

Связанные формулы

Математика

Сумма смежных углов

$\alpha + \beta = 180^\circ$

Сумма смежных углов: смежные углы имеют общую сторону, а две другие стороны образуют прямую. В вычислениях это записывают как alpha + beta = 180 градусов, если обозначения выбраны как в формуле.

Математика

Вертикальные углы

$\alpha = \beta$

Вертикальные углы: вертикальные углы возникают при пересечении двух прямых и лежат напротив друг друга. В вычислениях это записывают как alpha = beta, если обозначения выбраны как в формуле.

Математика

Углы при параллельных прямых и секущей

$a\parallel b\Rightarrow \alpha=\beta,\quad \gamma+\delta=180^\circ$

При параллельных прямых и секущей накрест лежащие и соответственные углы равны, а односторонние углы в сумме дают 180 градусов.

Математика

Признак параллельности прямых по углам

$\alpha=\beta\Rightarrow a\parallel b,\quad \gamma+\delta=180^\circ\Rightarrow a\parallel b$

Если при пересечении двух прямых секущей равны накрест лежащие или соответственные углы, прямые параллельны; то же верно при сумме односторонних углов 180 градусов.

Математика

Сумма углов треугольника

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Сумма углов треугольника: три внутренних угла любого треугольника вместе образуют 180 градусов. В вычислениях это записывают как alpha + beta + gamma = 180 градусов, если обозначения выбраны как в формуле.

Математика

Внешний угол треугольника

$\alpha_{\text{внеш}} = \beta + \gamma$

Внешний угол треугольника: внешний угол при вершине треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В вычислениях это записывают как alpha внеш = beta + gamma, если обозначения выбраны как в формуле.

Математика

Периметр треугольника

$P = a + b + c$

Периметр треугольника: периметр треугольника равен длине всей его границы. В вычислениях это записывают как P = a + b + c, если обозначения выбраны как в формуле.

Математика

Неравенство треугольника

$a+b>c,\quad a+c>b,\quad b+c>a$

В любом треугольнике сумма длин двух сторон больше длины третьей стороны. Это условие проверяет, можно ли построить треугольник по трем отрезкам.