Физика / Статистическая физика

Молярная теплоёмкость твёрдого тела в модели Эйнштейна

Модель Эйнштейна описывает теплоёмкость решётки как вклад квантовых осцилляторов одной частоты. При высокой температуре формула стремится к 3R, а при низкой быстро убывает.

Опубликовано: 11 ноября 2026 г.Обновлено: 11 ноября 2026 г.

Формула

C_{V,m}=3R\left(\frac{\Theta_E}{T}\right)^2\frac{\exp(\Theta_E/T)}{[\exp(\Theta_E/T)-1]^2},\qquad\Theta_E=\frac{\hbar\omega}{k_{\mathrm B}}

Схема Переход к классической теплоёмкости

Когда температура значительно выше Θ_E, теплоёмкость приближается к 3R.

Обозначения

$C_V,m$: молярная теплоёмкость решётки при постоянном объёме, Дж/(моль·К)
$R$: молярная газовая постоянная, Дж/(моль·К)
$Θ_E$: температура Эйнштейна, К
$T$: абсолютная температура, К
$ℏ$: приведённая постоянная Планка, Дж·с
$ω$: угловая частота модельного осциллятора, рад/с
$k_B$: постоянная Больцмана, Дж/К

Условия применения

На атом приходится три независимые гармонические компоненты колебаний. Все они имеют одну и ту же угловую частоту, не зависящую от T в выбранной модели. Формула относится к молю атомов и решёточной части C_V.

Ограничения

Одна частота не описывает спектр реального кристалла. В частности, при низкой температуре модель не воспроизводит вклад длинноволновых акустических колебаний и закон Дебая T³. Для металла также может потребоваться электронный вклад.

Подробное объяснение

Вместо непрерывной классической энергии гармонический осциллятор имеет уровни, разделённые на ℏω. При k_BT намного меньше этого промежутка возбуждения редки, и приращение средней энергии с температурой мало. Это уменьшает теплоёмкость.

Средняя энергия возбуждений одного осциллятора равна ℏω/[exp(Θ_E/T)−1]. Нулевая энергия ℏω/2 постоянна и после дифференцирования исчезает. Производная по T даёт два множителя Θ_E/T: один из энергии, другой из производной аргумента экспоненты после группировки.

Каждому атому соответствуют три компоненты, а переход к молю заменяет k_B на R. При y=Θ_E/T, стремящемся к нулю, разность exp(y)−1 ведёт себя как y. Квадрат этой разности сокращает y², оставляя классическую теплоёмкость 3R.

При большом y отношение к 3R приближённо равно y²exp(−y). Это экспоненциальное подавление типично для спектра с единственным ненулевым интервалом. В модели Дебая спектр содержит низкие частоты, поэтому её низкотемпературный результат отличается.

Как пользоваться формулой

Проверьте, что нужна решёточная молярная теплоёмкость при постоянном объёме в модели одной частоты.
Если дана угловая частота, найдите Θ_E=ℏω/k_B; если частота дана в герцах, используйте Θ_E=hf/k_B.
Разделите Θ_E на температуру образца в кельвинах и вычислите экспоненту без раннего округления.
Умножьте полученную безразмерную функцию на 3R и сравните ответ с классическим пределом 3R.

Историческая справка

В 1907 году Альберт Эйнштейн опубликовал работу о теории излучения Планка и удельной теплоёмкости. Идею квантованных энергий он перенёс на колебания в твёрдом теле. Эта модель показала, почему классический вклад колебаний может подавляться при охлаждении.

Учебное изложение Делфтского технического университета выводит теплоёмкость из статистической суммы осциллятора и объясняет приближение одной частоты. Оно даёт правильный классический предел, но реальные моды имеют разные частоты. Для низкотемпературной зависимости решётки существенны моды с малыми частотами, которые появляются в модели Дебая. По различию этих пределов можно увидеть, когда приближение одной частоты перестаёт описывать измерения.

Историческая линия формулы

Модель названа по работе Эйнштейна 1907 года, в которой квантование колебаний применено к теплоёмкости твёрдых тел. Формула выражает молярный вклад трёх независимых гармонических компонент на атом, поэтому её предел не следует переносить без поправок на другие виды теплоёмкости.

Пример

У модельного кристалла Θ_E=300 ln 2 К. При температуре 300 К вычислим молярную теплоёмкость и сравним её с классическим пределом. Здесь y=ln 2, exp(y)=2. Отношение C_V,m/(3R) равно (ln 2)²·2/(2−1)²≈0,9609. При R=8,31446 Дж/(моль·К) получаем C_V,m≈23,97 Дж/(моль·К). Функция от y безразмерна: в аргументе поделены две температуры в кельвинах. Единицы берутся от R. Полученное число ниже 3R≈24,94 Дж/(моль·К), как и ожидается при неполном классическом возбуждении. Разность около 0,97 Дж/(моль·К) показывает величину квантовой поправки при этой температуре.

Частая ошибка

При частоте в герцах используйте h, а при угловой частоте ℏ: иначе потеряется множитель 2π. Не включайте нулевую энергию в теплоёмкость как добавочное слагаемое. Не применяйте решёточную формулу ко всей измеренной теплоёмкости металла без проверки других вкладов.

Практика

Задачи с решением

Температуру снизили вдвое

Условие. Для кристалла из примера найдите C_V,m/(3R) при 150 К.

Решение. Теперь y=2 ln 2=ln 4. Подставляем exp(y)=4: отношение равно 4(ln 4)²/9.

Ответ. Около 0,8541.

Высокотемпературный предел

Условие. Чему стремится молярная теплоёмкость при T, намного большей Θ_E?

Решение. При y→0 имеем exp(y)→1 и (exp(y)−1)/y→1. Безразмерный множитель стремится к единице.

Ответ. C_V,m→3R≈24,94 Дж/(моль·К).

Дополнительные источники

https://doi.org/10.1002/andp.19063270110
https://solidstate.quantumtinkerer.tudelft.nl/1_einstein_model/
https://www.davidtong.org/teaching/statistical-physics/

Связанные формулы

Физика

Равнораспределение энергии по квадратичным членам

$\left\langle \frac{a q^2}{2}\right\rangle=\frac{k_{\mathrm B}T}{2}$

Независимый классический квадратичный член гамильтониана даёт в среднем половину k_BT энергии. Правило одинаково для кинетического члена и гармонического потенциала.

Физика

Аномалия Шоттки: теплоёмкость двухуровневой системы

$C_V=k_{\mathrm B}y^2\frac{e^{-y}}{(1+e^{-y})^2},\qquad y=\frac{\Delta}{k_{\mathrm B}T}$

Два невырожденных уровня с разностью энергий Δ дают максимум теплоёмкости при промежуточной температуре. Формула вычисляет вклад одной такой системы в теплоёмкость.

Физика

Статистическая сумма канонического ансамбля

$Z=\sum_i e^{-E_i/(k_BT)}$

Каноническая статистическая сумма складывает больцмановские веса всех микросостояний системы. Она нормирует вероятности и служит исходной величиной для вычисления свободной энергии, средней энергии и теплоемкости.