Инженерия / Теплопередача

Теплопроводность сферической стенки: сопротивление и поток

Для сферического слоя площадь переноса растёт как 4πr², поэтому его тепловое сопротивление зависит от разности обратных радиусов. Формула связывает стационарный поток с температурами именно поверхностей слоя.

Опубликовано: 28 октября 2026 г.Обновлено: 28 октября 2026 г.

Теплопередача Количество теплоты Страницы с задачами и решениями Есть историческая справка

Формула

R=\frac{1}{4\pi\lambda}\left(\frac1{r_1}-\frac1{r_2}\right),\qquad \dot Q=\frac{T_1-T_2}{R}

Схема Сферический слой и меняющаяся площадь

Сечение оболочки: тепло идёт по радиусу, площадь сферической поверхности возрастает с 4πr₁² до 4πr₂².

Обозначения

$R$: термическое сопротивление всей оболочки, К/Вт
$λ$: постоянная теплопроводность материала, Вт/(м·К)
$r₁,r₂$: внутренний и наружный радиусы, r₂>r₁, м
$T₁,T₂$: температуры поверхностей, К или °C для разности
$Q̇$: тепловая мощность наружу, Вт

Условия применения

Слой концентрический и однородный; перенос одномерный по радиусу, стационарный, без внутренних источников. Теплопроводность постоянна в диапазоне температур. Температура каждой сферической поверхности одинакова по всей площади; r₂>r₁>0.

Ограничения

Температура поверхности и температура окружающего воздуха обычно различаются: для воздуха добавляют конвективное сопротивление. Неплотности, мостики тепла и неравномерный нагрев нарушают сферическую модель. Учебная формула не заменяет проектный расчёт изделия или подбор изоляции по нормативам.

Подробное объяснение

В установившемся режиме одна и та же мощность пересекает любую концентрическую сферу. Закон Фурье даёт Q̇=−4πr²λdT/dr. При увеличении r площадь растёт, а модуль градиента уменьшается как 1/r²; поэтому линейный профиль температуры плоской стенки здесь неверен.

Интегрируем dT=−Q̇dr/(4πλr²) от r₁ до r₂. Получаем T₁−T₂=Q̇(1/r₁−1/r₂)/(4πλ). Коэффициент при мощности является сопротивлением R. При положительной разности температур знак Q̇ положителен для направления от центра наружу.

Выражение можно переписать как R=(r₂−r₁)/(4πλr₁r₂). Оно совпадает по форме с плоским δ/(λA), если взять эффективную площадь 4πr₁r₂, то есть геометрическое среднее площадей обеих сфер. При тонком слое радиусы близки и эта площадь близка к обычной площади поверхности.

При r₂→∞ сопротивление материала стремится к 1/(4πλr₁), а не растёт неограниченно. Это следствие расширения площади, через которую уходит тепло. Предел не учитывает конечные размеры среды, конвекцию и изменение свойств; его нельзя читать как готовую рекомендацию о толщине утепления.

Как пользоваться формулой

Переведите внутренний и наружный радиусы в метры; не подставляйте диаметры и проверьте положительную толщину сферического слоя.
Уточните температуры именно поверхностей и среднюю пригодную теплопроводность; конвекцию окружающей среды учитывайте отдельно.
Вычислите разность обратных радиусов и разделите на 4πλ; проверьте размерность сопротивления К/Вт перед расчётом мощности.
Разделите температурный перепад на сопротивление и укажите направление потока; для тонкого слоя сравните с плоской оценкой.

Историческая справка

Формула сферической оболочки относится к аналитической теории теплопроводности. В 1822 году опубликована «Théorie analytique de la chaleur» Жозефа Фурье: её подход связывал поток с температурным градиентом и граничными условиями. Библиографическая запись первого издания доступна в коллекции HKUST.

Сферическое решение получается применением этого закона к геометрии с меняющейся площадью. Отличие от плоской стенки заложено не в новом механизме теплопереноса, а в сохранении мощности на концентрических поверхностях. Современная запись через сопротивление делает эту геометрическую разницу особенно заметной.

Учебники теплообмена объединяют решения для плоскости, цилиндра и сферы в метод тепловых сопротивлений. Он удобен для последовательных слоёв, но требует одинаковой проходящей мощности и согласованных граничных температур. История общего закона и инженерная форма конкретного сопротивления поэтому различаются.

Историческая линия формулы

Основой является закон теплопроводности Фурье. Выражение для сферического слоя — результат его интегрирования в сферической геометрии; оно не приписывается отдельному автору без первичного свидетельства. Обозначение через сопротивление относится к инженерной учебной практике.

Пример

У сферической оболочки r₁=0,10 м, r₂=0,20 м, λ=0,50 Вт/(м·К); поверхности имеют 100 и 20 °C. Сопротивление R=(10−5)/(4π·0,50)=5/(2π)=0,7957747 К/Вт. Поэтому Q̇=80/R=32π=100,531 Вт наружу. Для проверки найдём эффективную площадь 4πr₁r₂=0,08πм². Плоская запись с этой площадью даёт R=0,10/(0,50·0,08π)=2,5/π, то же значение. Площадь только внутренней поверхности дала бы другое сопротивление и неверную мощность. Температурный перепад 80 °C численно равен 80 К; абсолютные температуры для этой разности переводить не требуется.

Частая ошибка

Не используйте одну постоянную площадь 4πr₁² по всей толщине. Не смешивайте радиусы с диаметрами: это меняет результат, даже если отношение радиусов сохраняется. Не подставляйте температуру воздуха вместо температуры наружной поверхности без добавления конвекции. Следите за знаком разности обратных радиусов.

Практика

Задачи с решением

Обратный расчёт

Условие. r₁=0,1 м, r₂=0,2 м, λ=1 Вт/(м·К), Q̇=40πВт. Найдите перепад.

Решение. R=5/(4π)К/Вт; ΔT=40π·5/(4π)=50 К.

Ответ. 50 К.

Два сферических слоя

Условие. Радиусы 0,1;0,2;0,4 м; λ=0,5 Вт/(м·К) в обоих слоях. Найдите суммарное R.

Решение. R₁=5/(2π), R₂=2,5/(2π); сумма 7,5/(2π)=3,75/π. Это равно сопротивлению одного слоя 0,1..0,4 м.

Ответ. R=1,193662 К/Вт.

Дополнительные источники

https://ahtt.mit.edu/wp-content/uploads/2024/04/AHTTv600.pdf
https://digitalcollections.hkust.edu.hk/Detail/objects/b458351

Связанные формулы

Инженерия

Теплопроводность через плоскую стенку

$Q=\lambda A\frac{\Delta T}{\delta}$

Теплопроводность через плоскую стенку: формула Q=\lambda A\frac{\Delta T}{\delta} помогает величины Q, lambda, A, DeltaT заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

Физика

Теплопроводность через цилиндрическую стенку

$P=\frac{2\pi\lambda L(T_1-T_2)}{\ln(r_2/r_1)}$

Установившаяся мощность радиального теплового потока через цилиндрическую стенку зависит от логарифма отношения радиусов. Площадь переноса меняется по толщине, поэтому плоская формула с одной площадью здесь неточна.

Инженерия

Критический радиус изоляции цилиндра: когда потери растут

$r_{cr}=\frac{\lambda}{h},\qquad R(r)=\frac{\ln(r/r_0)}{2\pi\lambda L}+\frac1{2\pi rLh}$

У цилиндра слой изоляции увеличивает сопротивление теплопроводности, но одновременно расширяет наружную поверхность конвекции. При постоянном h максимум потерь приходится на наружный радиус r=λ/h, если он больше исходного.