Математика / Линейная алгебра

Полярное разложение матрицы: поворот и растяжение

Невырожденная вещественная матрица раскладывается в произведение ортогональной Q и симметричной положительно определённой H. Первый множитель сохраняет длины, второй описывает растяжение.

Опубликовано: 6 ноября 2026 г.Обновлено: 6 ноября 2026 г.

Формула

A=QH,\qquad H=(A^{\mathsf T}A)^{1/2},\qquad Q=AH^{-1}

Схема Растяжение до ортогонального движения

Для A=[[0,−2],[3,0]] собственные значения H равны 3 и 2. Ортогональная Q затем сохраняет длины.

Обозначения

$A$: вещественная невырожденная квадратная матрица
$Q$: ортогональный множитель, QᵀQ=I
$H$: симметричный положительно определённый множитель
$(AᵀA)^(1/2)$: единственный симметричный положительно определённый квадратный корень

Условия применения

Приведённая формула Q=AH⁻¹ предполагает квадратную невырожденную A. Корень выбирается положительно определённым, а не произвольным решением уравнения H²=AᵀA. Для прямоугольных и вырожденных матриц существуют обобщения, но обратная H может отсутствовать.

Ограничения

Q может включать отражение: условие ортогональности не равнозначно detQ=+1. Порядок QH важен; левое разложение A=KQ имеет другой симметричный множитель. Явное вычисление корня и обратной не всегда лучший численный алгоритм, особенно возле вырождения.

Подробное объяснение

Из A=QH и QᵀQ=I следует AᵀA=HᵀH=H². Поэтому положительно определённый корень AᵀA определяет H, после чего Q восстанавливается умножением на H⁻¹ справа. Такой выбор исключает неоднозначность, связанную с разными знаками квадратного корня.

Собственные векторы H задают главные направления растяжения, а её собственные значения равны сингулярным числам A. После растяжения ортогональная Q сохраняет полученные длины и углы. Если detA отрицателен, ортогональный этап обязательно содержит отражение.

Если A=UΣVᵀ — сингулярное разложение невырожденной матрицы, то H=VΣVᵀ, Q=UVᵀ. Эта запись даёт надёжный способ вычисления и показывает, почему полярное разложение отличается от самого SVD: здесь два множителя, один из которых симметричен в исходной системе координат.

Для A=[[0,−2],[3,0]] получаем AᵀA=diag(9,4), H=diag(3,2). Тогда Q=[[0,−1],[1,0]] — поворот на 90°. Входной вектор сначала растягивается в 3 и 2 раза по координатным осям, затем поворачивается.

В норме Фробениуса Q является ближайшей ортогональной матрицей к невырожденной A. Это не означает, что H можно просто заменить её диагональю для произвольной A: направления растяжения не обязаны совпадать с координатными осями. Сначала нужно найти сам симметричный корень или использовать SVD.

Как пользоваться формулой

Проверьте невырожденность квадратной A и сформируйте симметричную матрицу AᵀA, не заменяя её произведением AAᵀ.
Найдите положительно определённый корень H через спектральное разложение или используйте SVD с положительными сингулярными числами.
Восстановите Q=AH⁻¹ либо Q=UVᵀ; сохраните правильный порядок множителей и проверьте, не возникло ли отражение.
Проверьте три равенства: QᵀQ=I, Hᵀ=H и QH=A; при численном расчёте укажите величину остатков этих проверок.

Историческая справка

Полярное разложение переносит идею модуля и направления комплексного числа на линейные преобразования. В матричном случае «модуль» становится положительным оператором, а «направление» — ортогональным или унитарным множителем. Такое сопоставление помогает объяснить название, но не является доказательством формулы.

В обзоре Николаса Хайэма 1989 года полярный множитель рассматривается в связи с ближайшими ортогональными матрицами. Работа Хайэма и Роберта Шрайбера 1990 года посвящена быстрому вычислению полярного разложения. Современные алгоритмы отделяют существование и единственность множителей от эффективного получения их с учётом округления. Поэтому краткая формула через квадратный корень служит математическим определением, а не обязательной последовательностью программных операций.

Историческая линия формулы

Полярное разложение относится к общей теории матриц; Хайэм и Шрайбер здесь цитируются как авторы конкретных работ по численному вычислению. Геометрическая аналогия с полярной формой комплексного числа не означает, что квадратный корень можно вычислять поэлементно.

Пример

Для A=[[0,−2],[3,0]] вычислим правое полярное разложение. Умножение даёт AᵀA=[[9,0],[0,4]], его положительный корень H=diag(3,2). Обратная H равна diag(1/3,1/2). Теперь Q=AH⁻¹=[[0,−1],[1,0]]. Проверка QᵀQ=I подтверждает ортогональность, detQ=1 — это поворот. Умножение QH возвращает[[0,−2],[3,0]], значит разложение найдено. Ответ: H=diag(3,2), Q — поворот на 90°. Для вектора e₁=(1,0)ᵀ действие H даёт(3,0)ᵀ, а Q переводит его в(0,3)ᵀ, совпадающее с первым столбцом A. Расстояние от A до Q в норме Фробениуса равно√[(3−1)²+(2−1)²]=√5; оно характеризует изменение длин, удалённое при ортогонализации.

Частая ошибка

Не берите корни отдельных элементов AᵀA: матричный корень определяется произведением H². Не переставляйте Q и H. Не называйте любую ортогональную Q поворотом без проверки определителя. Не используйте H⁻¹ при нулевом сингулярном числе; такой случай требует формы разложения для вырожденных матриц.

Практика

Задачи с решением

Уже положительная матрица

Условие. Найдите полярное разложение A=diag(2,5).

Решение. AᵀA=diag(4,25), H=diag(2,5), Q=I.

Ответ. Q=I, H=A.

Отражение

Условие. Найдите множители для A=diag(−2,3).

Решение. H=diag(2,3), Q=diag(−1,1). Q ортогональна, но её определитель−1.

Ответ. H=diag(2,3), Q — отражение.

Дополнительные источники

https://nhigham.com/wp-content/uploads/2023/10/high89n.pdf
https://eprints.maths.manchester.ac.uk/340/1/0911038.pdf
https://tminka.github.io/papers/matrix/minka-matrix.pdf

Связанные формулы

Математика

Сингулярное разложение матрицы

$A=U\Sigma V^T,\quad U^TU=I,\quad V^TV=I$

Сингулярное разложение представляет матрицу как произведение двух ортогональных матриц и диагональной матрицы сингулярных чисел. Это универсальная форма разложения, которая работает для прямоугольных матриц и показывает главные направления действия линейного отображения.

Математика

Ортогональная матрица

$Q^{T}Q=I,\quad Q^{-1}=Q^{T}$

Квадратная матрица Q ортогональна, если ее столбцы образуют ортонормированный базис. Тогда обратная матрица равна транспонированной, а преобразование сохраняет длины и углы.

Математика

Ортогональная задача Прокруста: совмещение двух матриц

$\min_{Q^{\mathsf T}Q=I}\|AQ-B\|_F,\qquad A^{\mathsf T}B=U\Sigma V^{\mathsf T}\Longrightarrow Q_*=UV^{\mathsf T}$

Ортогональная задача Прокруста ищет преобразование Q, которое лучше всего совмещает A с B в норме Фробениуса. Решение получают через сингулярное разложение AᵀB.