Математика / Арифметика и теория чисел

Процентное изменение

Процентное изменение показывает, на сколько процентов новая величина b отличается от исходной величины a. Знак результата показывает рост или уменьшение.

Опубликовано: 26 мая 2026 г.Обновлено: 26 мая 2026 г.

Формула

r=\frac{b-a}{a}\cdot100\%

Обозначения

$a$: исходное значение величины, любые единицы
$b$: новое значение величины, те же единицы
$r$: процентное изменение, %

Условия применения

Исходное значение a не равно нулю.
a и b описывают одну и ту же величину в одинаковых единицах.
Положительный результат означает рост, отрицательный - уменьшение.

Ограничения

Процентные изменения за разные шаги нельзя просто складывать без учета новой базы.
Формула не подходит, если исходное значение равно нулю.
При очень малом a процент может быть огромным и плохо отражать практический смысл.

Подробное объяснение

Процентное изменение измеряет не саму разницу b - a, а отношение этой разницы к исходному значению. Поэтому одинаковая прибавка может быть разным процентом: 5 рублей от 50 рублей - это 10%, а 5 рублей от 500 рублей - только 1%.

Формула следует из идеи процента как сотой доли. Разность показывает изменение в единицах величины, деление на a показывает долю исходного значения, а умножение на 100 переводит эту долю в проценты.

Знак результата имеет смысл. Если b больше a, числитель положительный и величина выросла. Если b меньше a, числитель отрицательный и величина уменьшилась. При b = a изменение равно 0%, потому что новая величина совпала с исходной.

В задачах о ценах, оценках и статистике формула помогает сравнивать изменения разного масштаба. Абсолютная разница не всегда информативна, а процент показывает, насколько заметным было изменение относительно старого уровня.

От формулы процента от числа это правило отличается порядком действий: сначала ищут изменение, а уже потом сравнивают его с исходной базой. Нельзя начинать с p/100, пока процент изменения неизвестен.

Как пользоваться формулой

Запишите исходное значение a и новое значение b в одинаковых единицах.
Вычислите разность b - a с учетом знака.
Разделите разность на исходное значение a.
Умножьте результат на 100%.
Сформулируйте ответ словами: выросло или уменьшилось.

Историческая справка

Проценты выросли из практики торговых расчетов, налогов и измерения долей. Сама идея сотых частей старше современного знака процента: люди сравнивали части целого в обмене, ремесле и землемерии задолго до школьной записи. В европейских счетных школах XV-XVI веков проценты стали удобным языком для банков, скидок и прибыли, потому что расчет на сто легко проверялся письменно и устно. В школьной математике проценты закрепились как мост между дробями, десятичной записью и практическими задачами.

Для темы «Процентное изменение» исторический контекст важен: современная формула не возникла как отдельная подсказка, а стала итогом долгого отбора удобной записи. Сначала решали конкретные практические или геометрические задачи, затем выделяли устойчивую связь величин, а учебники закрепляли ее как короткое правило. Поэтому формула одновременно служит вычислительным алгоритмом и способом увидеть структуру задачи.

Историческая линия формулы

У формулы «Процентное изменение» нет единственного автора в современном школьном смысле. Корректнее связывать ее с развитием арифметики дробей и торговых вычислений: нынешняя запись стала стандартной после распространения буквенной символики, доказательных учебников и единой системы школьного курса.

Пример

Задача: цена тетради выросла с 40 до 46 рублей. Дано: a = 40, b = 46. Разница b - a = 6 рублей. Делим ее на исходную цену и переводим в проценты: r = 6 / 40 · 100% = 15%. Ответ: цена выросла на 15%. Проверка результата обязательна: подставляем найденное число обратно в исходную связь, следим за единицами и оцениваем ответ по смыслу. Если ответ должен быть длиной, площадью, временем или количеством, в конце записываем именно эту единицу, а не только число. Такой контроль помогает отличить верную формулу от похожего, но неподходящего правила.

Частая ошибка

Частая ошибка - делить разницу на новое значение, хотя базой является исходная величина. Вторая ошибка - терять знак: если было 80, а стало 60, изменение равно -25%, а не просто 25%. Третья ошибка - складывать последовательные проценты без учета новой базы. Чтобы избежать ошибки, перед вычислением полезно подписать все величины словами, проверить знак, единицы и соответствие элементов на чертеже или в условии. Если формула применима только при специальных условиях, эти условия записывают до подстановки, а не после получения ответа.

Практика

Задачи с решением

Рост результата

Условие. Ученик решил 18 задач вместо 15. На сколько процентов вырос результат?

Решение. r = (18 - 15) / 15 · 100% = 20%.

Ответ. 20%

Снижение количества

Условие. Ошибок было 25, стало 20. Найдите изменение.

Решение. r = (20 - 25) / 25 · 100% = -20%.

Ответ. уменьшилось на 20%

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

ФИПИ. Кодификатор проверяемых требований ОГЭ по математике
Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Математика. Алгебра. Геометрия. Основная школа
OpenStax Prealgebra 2e and Elementary Algebra 2e: percents, radicals, quadratic equations, geometry

Связанные формулы

Математика

Процент от числа в задачах 7 класса

$p\%\text{ от }a=\frac{p}{100}\cdot a$

Процент от числа показывает, какая часть величины соответствует p сотым долям. Формула переводит проценты в дробь и умножает эту дробь на исходное число.

Математика

Число по его проценту

$a=\frac{b\cdot100}{p}$

Число по его проценту находят, когда известна часть b и известно, что эта часть составляет p% от целого. Формула восстанавливает исходное целое делением на долю.

Математика

Процентное изменение

$r=\frac{b-a}{a}\cdot100\%$

Математика

Масштаб чертежа

$M=\frac{l_{\text{чертеж}}}{l_{\text{натура}}}$

Масштаб показывает отношение длины на чертеже к соответствующей реальной длине. Он позволяет уменьшать или увеличивать изображение без изменения формы объекта.