Математика / Линейная алгебра

Тождество Сильвестра: det(I+AB) через меньшую матрицу

Тождество Сильвестра позволяет вычислить определитель I+AB по матрице I+BA другого порядка. Прямоугольные множители меняют размер задачи, сохраняя значение определителя.

Опубликовано: 6 ноября 2026 г.Обновлено: 6 ноября 2026 г.

Формула

\det(I_m+AB)=\det(I_n+BA),\qquad A\in\mathbb R^{m\times n},\quad B\in\mathbb R^{n\times m}

Схема Порядок задачи и общий ответ

В примере определители порядков 3 и 2 совпадают и равны 11. Первые столбцы показывают размер, последние — значение.

Обозначения

$A$: прямоугольная матрица размера m×n
$B$: прямоугольная матрица размера n×m
$I_m,I_n$: единичные матрицы соответствующих порядков
$AB,BA$: квадратные произведения порядков m и n

Условия применения

Внутренние размеры множителей согласованы так, что существуют оба квадратных произведения. Единичные матрицы берутся правильного порядка. Обратимость A,B или I+AB не требуется. Все элементы в приведённой алгебраической записи принадлежат вещественному или комплексному полю.

Ограничения

Равенство относится к определителям матриц с добавленной единицей, а не к равенству самих AB и BA. При разных порядках det(AB) и det(BA) могут различаться из-за дополнительных нулевых собственных значений. Численная экономия зависит от размеров и структуры множителей.

Подробное объяснение

Произведения AB и BA действуют в разных пространствах, но имеют общие ненулевые собственные значения с учётом алгебраической кратности. Дополнительные нулевые значения превращаются в единицы при переходе к I+AB или I+BA. Поэтому они не меняют произведение собственных значений, то есть определитель.

Тождество можно получить и через блочную матрицу с единичными диагональными блоками. Вычисление её определителя исключением одного или другого блока приводит к двум сторонам равенства. Этот путь не требует отдельного диагонального разложения и остаётся применимым к вырожденным произведениям.

В случае n=1 матрица A — столбец u, B — строка vᵀ. Тогда правая сторона равна скаляру 1+vᵀu. Получается частный случай леммы об определителе для рангового обновления единичной матрицы. Общая прямоугольная запись охватывает несколько внутренних координат одновременно.

Главная вычислительная выгода возникает при n<m. Вместо большого произведения AB и определителя m-го порядка формируют BA и определитель n-го порядка. При этом умножения для BA тоже имеют стоимость; тождество не превращает расчёт в бесплатную операцию, но уменьшает квадратную часть задачи.

Добавление tAB вместо AB также допустимо: det(I_m+tAB)=det(I_n+tBA). Скаляром t можно умножить один из множителей. Это полезно для проверки зависимости определителя от параметра, но коэффициенты единичных матриц и размеры должны оставаться согласованными.

Как пользоваться формулой

Определите размеры A и B и сравните m с n; выбирайте для вычисления сторону с меньшим порядком квадратной матрицы.
Сформируйте произведение BA или AB и прибавьте единичную матрицу соответствующего размера, не добавляя единицу ко всем элементам.
Вычислите определитель выбранной меньшей матрицы; обратимость множителей и самих сумм предварительно требовать не нужно.
Для небольшого контрольного примера независимо посчитайте вторую сторону и проверьте равенство со знаками, а не только модулями.

Историческая справка

Тождество Сильвестра входит в классическую теорию определителей и связано с блочными преобразованиями и произведениями прямоугольных матриц. Его современная роль особенно заметна в вычислениях с малым внутренним размером, где запись I+AB естественно возникает из нескольких обновляющих направлений.

В статье о детерминантных тождествах 1983 года рассматривается широкий круг формул, связанных с именами Сильвестра, Шура, Якоби и других исследователей. Для учебной практики важно различать их точные постановки: имя Сильвестра встречается у нескольких результатов. Здесь речь идёт именно о равенстве det(I+AB) и det(I+BA), которое уменьшает порядок определителя и не требует обратимости прямоугольных множителей.

Историческая линия формулы

Название относится к принятому тождеству определителей Сильвестра. Его следует отличать от критерия положительной определённости и других формул с тем же именем. Источник по детерминантным тождествам используется для контекста; приведённый численный пример является самостоятельным учебным расчётом.

Пример

Пусть A=[[1,0],[0,2],[1,1]], B=[[1,0,1],[0,1,1]]. Внешний размер m=3, внутренний n=2. Меньшее произведение BA=[[2,1],[1,3]], поэтому I₂+BA=[[3,1],[1,4]]. Его определитель равен 12−1=11. Независимая проверка: AB=[[1,0,1],[0,2,2],[1,1,2]], а I₃+AB=[[2,0,1],[0,3,2],[1,1,3]]. Разложение по первой строке даёт 2(9−2)+(0−3)=14−3=11. Ответ: оба определителя равны 11. Формула позволила заменить задачу 3×3 на 2×2. Важно, что сами произведения имеют разные размеры и не равны как матрицы; совпадает значение определителя после добавления правильной единичной матрицы.

Частая ошибка

Не заменяйте I+AB на AB: без единичного слагаемого появляются дополнительные нулевые значения. Не прибавляйте 1 к каждой ячейке вместо диагонали. Не переставляйте размеры I_m и I_n. Не делайте вывод AB=BA по равенству определителей: произведения могут даже иметь разный порядок.

Практика

Задачи с решением

Ранг один

Условие. u=(1,2,3)ᵀ, v=(2,0,1)ᵀ. Найдите det(I₃+uvᵀ).

Решение. vᵀu=2·1+0·2+1·3=5. Меньший определитель порядка 1 равен 1+5=6.

Ответ. 6.

Параметр

Условие. Для тех же u,v найдите det(I₃−uvᵀ).

Решение. Второй множитель можно заменить на−vᵀ. Ответ 1−vᵀu=1−5=−4.

Ответ. −4.

Дополнительные источники

https://doi.org/10.1016/0024-3795(83)80049-4
https://dlmf.nist.gov/1.3

Связанные формулы

Математика

Лемма об определителе матрицы

$\det(A+uv^T)=\det(A)\left(1+v^TA^{-1}u\right)$

Лемма об определителе показывает, как меняется определитель обратимой матрицы при ранговом обновлении uv^T. Вместо пересчета всего определителя достаточно вычислить один скаляр.

Математика

Дополнение Шура

$S=D-CA^{-1}B$

Дополнение Шура выражает эффективный блок матрицы после исключения другого блока. Оно появляется при блочном обращении матриц, решении систем, вычислении определителей и условных распределениях в статистике.

Математика

Обратная блочной матрицы через дополнение Шура

$\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1}+A^{-1}BS^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}BS^{-1}\\-S^{-1}CA^{-1}&S^{-1}\end{pmatrix},\quad S=D-CA^{-1}B$

Формула обращает блочную матрицу через обратный блок A и обратное дополнение Шура. Она показывает, как получить обратную матрицу без обращения всей матрицы целиком.