Все формулы РФ

Физика / Электричество

Максимальный КПД термоэлектрического генератора

Формула даёт максимальную долю тепловой мощности, которую термоэлектрический модуль с постоянными свойствами передаёт в электрическую нагрузку при заданных температурах граней.

Опубликовано: Обновлено:

Ручной расчетСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справкаДиагностика условий

Формула

$$\eta_{\max}=\frac{T_h-T_c}{T_h}\,\frac{\sqrt{1+Z\bar T}-1}{\sqrt{1+Z\bar T}+T_c/T_h}$$
Схема КПД при температурах 400 и 300 К
012340510152025КПД, %ZT̄Макс. КПДПредел Карно

Отмечена точка ZT̄=3 и КПД 9,09%.

Обозначения

$η_max$
максимальный КПД, доля
$T_h, T_c$
температуры горячей и холодной граней, К
$Z$
добротность модуля S²/(RK), К⁻¹
$T̄$
средняя температура граней (T_h+T_c)/2, К

Условия применения

Температуры граней постоянны при изменении сопротивления нагрузки, T_h>T_c>0. Модель стационарна. Постоянны S, R и K, где S — коэффициент Зеебека модуля, R — его электрическое сопротивление, K — тепловая проводимость.

Ограничения

Точечное zT материала может отличаться от ZT̄ модуля. При значимом изменении свойств по длине нужны температурные зависимости и тепловой баланс. Формула не включает питание насосов или вентиляторов и перепад на внешних теплообменниках.

Подробное объяснение

При изменении нагрузки меняется полезная электрическая мощность и приток тепла через горячую грань. КПД равен их отношению. Первый множитель (T_h−T_c)/T_h представляет предел Карно для этого перепада температур.

В постоянной модели ЭДС равна S(T_h−T_c). Ток равен ЭДС, делённой на сумму внутреннего сопротивления и нагрузки. Теплопроводность уносит от горячей грани K(T_h−T_c), перенос Пельтье добавляет ST_hI. Возврат половины джоулева тепла уменьшает необходимый внешний приток.

После подстановки P=I²R_н в отношение P/Q_h максимум КПД по R_н достигается при R_н/R=√(1+ZT̄). Для максимума мощности при тех же температурах требуется R_н=R. При положительной добротности это разные рабочие точки.

При фиксированных температурах второй множитель растёт с ZT̄ от нуля к единице. Он позволяет сравнивать модули при одинаковом перепаде. Если вместо температур граней подставить температуры источника и среды, можно завысить КПД, особенно при слабом радиаторе.

Как пользоваться формулой

  1. Запишите температуры обеих граней модуля в кельвинах и найдите их разность и среднее арифметическое.
  2. Определите Z модуля по постоянным S, R и K или возьмите рассчитанное ZT̄ для выбранного перепада температур.
  3. Вычислите предел Карно и корень √(1+ZT̄). В температурном отношении используйте абсолютную шкалу.
  4. Перемножьте два множителя, переведите долю в проценты и найдите оптимальную нагрузку при известном R.

Историческая справка

В начале XX века Эдмунд Альтенкирх анализировал эффективность термоэлектрических генераторов через тепловые и электрические потери. В статье 2020 года о преобразовании энергии его выражение сопоставлено с современной формой. Сопоставление показывает, как добротность определяет зависящую от транспортных свойств часть КПД при том же температурном перепаде.

В 2008 году Джеффри Снайдер и Эрик Тоберер привели уравнение максимального КПД в обзоре Complex thermoelectric materials. Они отдельно разобрали добротность материала и добротность устройства на конечном интервале. Это разделение важно, когда пик zT измерен в одной точке, а модуль работает между разными температурами.

Историческая линия формулы

Расчёт продолжает теорию термоэлектрической эффективности Альтенкирха. Формула записана через добротность устройства, как у Снайдера и Тоберера. Условие оптимума по сопротивлению следует из баланса постоянной модели с фиксированными температурами граней.

Пример

Горячая грань поддерживается при 400 К, холодная при 300 К. Безразмерная добротность ZT̄ равна 3, внутреннее сопротивление R=2 Ом. Найдём максимум КПД и нагрузку. Предел Карно равен 100/400=0,25. Корень √(1+3)=2, температурное отношение 300/400=0,75. Получаем η_max=0,25·(2−1)/(2+0,75)=1/11≈0,0909, или 9,09%. Оптимальная нагрузка равна 2·2=4 Ом. КПД безразмерен и меньше 25%, поскольку дробь 1/2,75 меньше единицы. Нагрузка 2 Ом дала бы наибольшую электрическую мощность в той же модели, а максимум отношения мощности к подводимому теплу получается при 4 Ом.

Частая ошибка

Температуры в градусах Цельсия дадут неверный предел Карно и неверное отношение T_c/T_h. Доля 0,0909 соответствует 9,09%, а не 0,0909%. При подборе нагрузки различайте максимум КПД и максимум электрической мощности. Измеряйте температуры непосредственно на гранях модуля.

Практика

Задачи с решением

КПД при перепаде 200 К

Условие. Температуры граней 500 и 300 К, ZT̄=1,25. Найдите максимальный КПД.

Решение. Предел Карно равен 0,4, корень √2,25=1,5, отношение температур 0,6. Получаем 0,4·0,5/2,1=2/21≈0,09524.

Ответ. Около 9,52%.

Два сопротивления нагрузки

Условие. ZT̄=8, внутреннее сопротивление 1,5 Ом. Сравните нагрузки для максимума КПД и максимума мощности.

Решение. Для КПД множитель √(1+8)=3, значит R_н=4,5 Ом. Для максимума мощности согласуем сопротивления: R_н=1,5 Ом.

Ответ. 4,5 Ом для КПД, 1,5 Ом для мощности.

Дополнительные источники

  • https://zenodo.org/records/894370/files/article.pdf
  • https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC7517375/
  • https://thermoelectrics.ms.northwestern.edu/publications/pdf/CompatCRC.pdf

Связанные формулы

Физика

Термоэлектрическая добротность материала zT

$zT=\frac{S^2\sigma T}{\kappa}$

Безразмерная добротность zT сравнивает способность материала создавать термоэлектрическое напряжение и проводить ток с его теплопроводностью при заданной температуре.

Физика

КПД цикла Карно

$\eta_C=1-\frac{T_2}{T_1}$

Максимальный КПД обратимого двигателя между двумя постоянными температурами равен 1 − Tc/Th. Температуры берут в кельвинах; реальные потери уменьшают достижимый результат.

Физика

Эффект Зеебека: ЭДС термопары по разности температур

$E_{AB}=\int_{T_c}^{T_h}S_{AB}(T)\,dT\approx S_{AB}(T_h-T_c)$

ЭДС термопары определяется разностью температур измерительного и опорного спаев и термоэлектрическими свойствами пары материалов. При постоянном коэффициенте Зеебека зависимость линейна.