Математика / Вероятность и статистика

Мультиномиальная вероятность

Мультиномиальная формула даёт вероятность заданного вектора количеств нескольких категорий за n независимых испытаний. Комбинаторный коэффициент учитывает все порядки с одинаковыми частотами.

Опубликовано: 6 ноября 2026 г.Обновлено: 6 ноября 2026 г.

Формула

P=\frac{n!}{x_1!\cdots x_m!}p_1^{x_1}\cdots p_m^{x_m}

Схема Разные векторы частот

При n=5 и трёх равновероятных категориях: P(2,2,1)=30/243, P(3,1,1)=20/243. Порядок отдельных исходов не фиксирован.

Обозначения

$n$: число независимых испытаний, шт.
$m$: число категорий, шт.
$x_i$: число исходов категории i, шт.
$p_i$: вероятность категории i, доля

Условия применения

В каждом испытании возникает ровно одна из m исчерпывающих категорий. Испытания независимы, вектор вероятностей p одинаков для всех наблюдений, Σp_i=1. Счётчики x_i — неотрицательные целые и Σx_i=n. При нулевом p_i положительный x_i делает вероятность нулевой.

Ограничения

При нескольких метках на одном объекте категории перекрываются и модель требует изменения. Отбор без возвращения из небольшой конечной партии обычно описывается многомерной гипергеометрической схемой. Вероятность одного вектора частот не равна вероятности одной упорядоченной последовательности.

Подробное объяснение

Мультиномиальная формула обобщает биномиальную: вместо двух категорий разрешает m исходов, а вектор x задаёт, сколько раз встретилась каждая категория. Факториальный коэффициент считает перестановки одинаковых результатов; произведение степеней даёт вероятность одного фиксированного порядка.

Категории должны быть взаимоисключающими и исчерпывающими. Если исход можно отнести сразу к двум классам, сначала меняют модель, иначе коэффициент перестановок пересчитывает не те последовательности. Наблюдения независимы и имеют один и тот же вектор вероятностей p.

Формула полезна в опросах с несколькими ответами, контроле партий по сортам и классификации символов. При двух категориях она превращается в биномиальную, а при x_i=0 соответствующий фактор равен единице. Для больших n вычисляют логарифмы гамма-функции.

Ключевая проверка — сумма x_i=n и сумма p_i=1. Вероятность конкретного вектора не следует путать с вероятностью одной последовательности: последняя равна только произведению степеней и меньше в число раз, равное мультиномиальному коэффициенту.

Как пользоваться формулой

Сформируйте взаимоисключающие категории и проверьте, что их вероятности суммируются в единицу при каждом независимом испытании.
Убедитесь, что все x_i целые и неотрицательные, а их сумма совпадает с общим числом наблюдений n.
Вычислите коэффициент n!/(x₁!…x_m!) и отдельно произведение p_i^x_i; нулевые счётчики дают множитель единица.
Перемножьте две части и проверьте результат через число допустимых порядков; для больших n считайте логарифмы факториалов.

Историческая справка

Мультиномиальная схема выросла из комбинаторики размещений и биномиального разложения. В XVII–XVIII веках таблицы урнов и повторных испытаний требовали считать несколько типов исходов; обобщение коэффициента бинома естественно привело к факториальному отношению n!/(x_1!…x_m!). В XIX веке эта запись вошла в теорию вероятностей и статистику категориальных наблюдений.

В XX веке мультиномиальное распределение стало базовой моделью для таблиц частот, текстовых счётчиков и дискретных экспериментов. Исторически корректно говорить о постепенном обобщении биномиальной идеи, а не о единственном изобретателе. Современная формула сохраняет комбинаторный смысл: она группирует все последовательности с одинаковым вектором частот.

Историческая линия формулы

Мультиномиальная формула объединяет комбинаторный подсчёт перестановок и правило произведения для независимых событий. Это обобщение биномиальной схемы, а не специальное правило конкретной программы. Указанные учебные источники фиксируют современное определение вектора счётчиков.

Пример

В пяти бросках кубика обозначим категории A={1,2}, B={3,4}, C={5,6}; их вероятности равны 1/3. Вероятность получить A два раза, B два раза и C один раз: число порядков 5!/(2!2!1!)=30. Каждый порядок имеет вероятность (1/3)^5=1/243. Значит P=30/243=10/81≈0.12345679. Сумма счётчиков 2+2+1=5, а сумма вероятностей категорий равна единице — обе проверки выполнены. Независимая проверка считает сначала один порядок, например A,A,B,B,C: его вероятность равна 1/243. Ровно тридцать перестановок дают тот же вектор частот, поэтому умножение на 30 обязательно.

Частая ошибка

Не пропускайте коэффициент перестановок: произведение p_i^x_i относится только к одному порядку. Не учитывайте один исход сразу в двух категориях. Не используйте степени с суммой счётчиков, отличной от n. Не подменяйте выборку без возвращения независимыми испытаниями без обоснования приближения.

Практика

Задачи с решением

Три категории

Условие. n=5, p=(1/3,1/3,1/3), x=(2,2,1).

Решение. 5!/(2!2!1!)=30; P=30·(1/3)^5=30/243.

Ответ. P=10/81≈0.12345679.

Неравные вероятности категорий

Условие. n=4, p=(0.5,0.25,0.25), x=(2,1,1).

Решение. Коэффициент 4!/(2!1!1!)=12; произведение вероятностей .5²·.25·.25=.015625.

Ответ. P=12·.015625=0.1875.

Дополнительные источники

https://online.stat.psu.edu/stat504/Lesson02
https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.multinomial.html

Связанные формулы

Математика

Вероятность в биномиальном распределении

$P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$

Формула «Вероятность в биномиальном распределении» задает численную характеристику вероятностной модели. Она переводит исходы, вероятности или наблюдения в показатель, который удобно считать, сравнивать и проверять.

Математика

Гипергеометрическое распределение: выбор без возвращения

$P(X=k)=\frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$

Гипергеометрическая формула даёт вероятность выбрать ровно k объектов нужного типа среди n предметов, взятых без возвращения из N. В исходной совокупности ровно K объектов относятся к нужному типу.

Математика

Граница Буля—Бонферрони для объединения событий

$\Pr\!\left(\bigcup_{i=1}^{m}A_i\right)\le\min\!\left(1,\sum_{i=1}^{m}\Pr(A_i)\right)$

Вероятность хотя бы одного из нескольких событий не превосходит суммы их вероятностей. Граница работает без независимости и позволяет контролировать общую ошибку по отдельным рискам.