Физика / Механика
Относительное удлинение
Относительное удлинение показывает, какую долю от первоначальной длины составляет изменение длины тела при растяжении или сжатии, и является безразмерной мерой деформации.
Формула
Перед подстановкой чисел полезно сверить модель на рисунке: деформация x связана с силой и энергией.
Обозначения
- $\varepsilon$
- относительное удлинение или продольная деформация, 1
- $\Delta l$
- изменение длины тела, м
- $l_0$
- первоначальная длина тела, м
Условия применения
- Изменение длины измеряется вдоль той же оси, по которой задана первоначальная длина.
- Начальная длина l0 положительна и относится к недеформированному состоянию образца.
- Для связи с законом Гука деформация должна оставаться в области упругого поведения материала.
Ограничения
- Формула сама по себе не говорит, выдержит ли материал нагрузку: для этого нужны напряжение, модуль Юнга и предел прочности.
- При больших пластических деформациях простая инженерная деформация отличается от истинной логарифмической деформации.
- Для неоднородного образца локальная деформация может заметно отличаться от средней величины по всей длине.
Подробное объяснение
Относительное удлинение вводят, чтобы сравнивать деформации тел разной длины. Абсолютное удлинение в 1 мм для короткой пружины и для двухметровой проволоки означает разные физические ситуации. Деление на l0 убирает масштаб образца и показывает, какая часть исходной длины добавилась или потерялась.
В школьной механике эта величина обычно появляется рядом с силой упругости и законом Гука. Для простого стержня в упругой области напряжение пропорционально относительному удлинению: σ = Eε. Поэтому ε служит мостом между наблюдаемым изменением длины и свойствами материала. Малое ε означает, что отдельные участки тела сместились совсем немного относительно исходной длины.
Важно отличать относительное удлинение от абсолютного. Абсолютное удлинение Δl измеряется в метрах, а относительное показывает долю и не имеет единицы. В инженерных таблицах его часто выражают в процентах или промилле, но физически это та же безразмерная величина. Перед расчетом всегда приводят Δl и l0 к одной единице.
Если нагрузка снимается и тело возвращается к исходной длине, деформация была упругой. Если остается остаточное удлинение, тело перешло в пластическую область, и простая линейная связь с силой перестает работать. Поэтому формула ε = Δl/l0 безопасна как определение средней деформации, но не заменяет анализ материала и режима нагружения.
Как пользоваться формулой
- Запишите начальную длину тела до действия нагрузки.
- Найдите изменение длины как конечную длину минус начальную.
- Переведите обе длины в одну единицу измерения.
- Разделите Δl на l0 и при необходимости умножьте результат на 100 %.
Историческая справка
Идея измерять деформацию как относительное изменение размера возникла из практики испытаний материалов. Для строителей, механиков и физиков было недостаточно знать, насколько образец стал длиннее: требовалось сравнивать разные образцы, разные металлы и разные длины. В XVII веке Роберт Гук сформулировал закон упругости, связывая силу с деформацией в пределах малых изменений. Позднее развитие теории упругости, работ Томаса Юнга и инженерных испытаний привело к современному языку напряжений и деформаций. В этом языке относительное удлинение стало одной из базовых величин: оно не зависит от выбранного масштаба образца и позволяет строить диаграммы растяжения, определять модуль Юнга и отделять упругую область от пластической.
Историческая линия формулы
Формула относительного удлинения не принадлежит одному автору как отдельное открытие. Она связана с развитием закона Гука, теории упругости и инженерной практики испытаний материалов, где понадобилась безразмерная мера растяжения или сжатия.
Пример
Проволока имела начальную длину 2,0 м, а после подвешивания груза стала длиннее на 1,6 мм. Сначала переводим изменение длины в метры: 1,6 мм = 0,0016 м. Затем подставляем в формулу: ε = Δl/l0 = 0,0016/2,0 = 0,0008. В процентах это 0,08 %, потому что безразмерную долю умножают на 100 %. Такой результат мал, поэтому для металлической проволоки он может соответствовать упругой области, но окончательный вывод делают по напряжению и модулю Юнга. Если бы ту же прибавку длины получила проволока длиной 0,2 м, относительное удлинение было бы в десять раз больше.
Частая ошибка
Частая ошибка - делить изменение длины на конечную длину вместо первоначальной. Вторая ошибка - подставлять миллиметры и метры одновременно, получая число в тысячу раз меньше или больше. Третья ошибка - считать ε силой или абсолютным удлинением: это безразмерная величина. Еще один риск - не учитывать знак: при растяжении Δl положительно, при сжатии оно может быть отрицательным.
Практика
Задачи с решением
Удлинение проволоки
Условие. Проволока длиной 1,5 м удлинилась на 0,75 мм. Найдите относительное удлинение.
Решение. Переводим 0,75 мм = 0,00075 м. Тогда ε = 0,00075/1,5 = 0,0005.
Ответ. ε = 5·10^-4, или 0,05 %
Абсолютное удлинение по деформации
Условие. Стержень длиной 0,8 м имеет относительное удлинение 0,002. Найдите Δl.
Решение. Из ε = Δl/l0 получаем Δl = εl0 = 0,002·0,8 = 0,0016 м.
Ответ. Δl = 1,6 мм
Дополнительные источники
- OpenStax University Physics: Stress, Strain, and Elastic Modulus
- NIST SI Brochure: coherent SI units and dimensionless quantities
Связанные формулы
Физика
Сила упругости по закону Гука
Сила упругости в модели закона Гука пропорциональна деформации и направлена против смещения от положения равновесия, стремясь вернуть тело к исходной форме.
Физика
Потенциальная энергия упруго деформированного тела
Потенциальная энергия упругой деформации равна половине произведения жесткости на квадрат растяжения или сжатия и показывает запас энергии в пружине.
Инженерия
Закон Гука для стержня
В пределах упругой области удлинение стержня пропорционально нагрузке, длине и обратно пропорционально площади сечения и модулю Юнга.