Все формулы РФ

Физика / Механика

Сила упругости по закону Гука

Сила упругости в модели закона Гука пропорциональна деформации и направлена против смещения от положения равновесия, стремясь вернуть тело к исходной форме.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаФормулы по физике за 7 классМеханикаДинамикаКолебания и волныКалькулятор

Формула

$$\vec F_{\text{упр}}=-k\vec x$$
Схема Как читать формулу: сила упругости по закону гука
kxдеформация x связана с силой и энергией

Перед подстановкой чисел полезно сверить модель на рисунке: деформация x связана с силой и энергией.

Обозначения

$\vec F_{\text{упр}}$
сила упругости, Н
$k$
жесткость пружины или упругого элемента, Н/м
$\vec x$
смещение от положения равновесия, м

Условия применения

  • Деформация мала и находится в пределах упругости материала.
  • Жесткость k можно считать постоянной на рассматриваемом интервале деформаций.
  • Смещение x отсчитывается от положения, где сила упругости равна нулю.

Ограничения

  • При пластической деформации, растяжении до разрушения или нелинейной упругости закон Гука неприменим в простой форме.
  • Для сложных тел сила может зависеть от направления, формы и распределения напряжений, а не только от одного x.
  • Знак минус указывает направление возвращающей силы и не означает, что модуль силы отрицателен.

Подробное объяснение

Закон Гука описывает поведение идеального упругого элемента при малых деформациях. Чем дальше пружину растянули или сжали, тем больше возвращающая сила. Слово «возвращающая» важно: сила направлена не в сторону смещения, а против него, поэтому в векторной записи стоит знак минус.

Жесткость k показывает, сколько ньютонов силы приходится на один метр деформации. Большая жесткость означает, что для малого растяжения нужна большая сила. Динамометр работает именно на этой идее: по растяжению пружины можно судить о силе, если жесткость известна и шкала откалибрована.

Формула тесно связана с энергией упругой деформации и гармоническими колебаниями. Если тело на пружине отпустить, сила упругости будет ускорять его к положению равновесия. При малых колебаниях такая линейная возвращающая сила приводит к синусоидальному движению.

В реальных материалах закон Гука является приближением. Сначала многие тела ведут себя почти линейно, затем появляются нелинейность, пластическая деформация или разрушение. Поэтому в задачах обычно явно предполагается малость деформации или идеальность пружины. Без этого условия формула может дать только грубую оценку.

Как пользоваться формулой

  1. Определите положение равновесия или недеформированное состояние.
  2. Измерьте смещение x от этого положения и переведите его в метры.
  3. Умножьте модуль смещения на жесткость k, чтобы найти модуль силы.
  4. Направьте силу противоположно смещению от равновесия.

Историческая справка

Роберт Гук опубликовал закон упругости в XVII веке, сначала в виде анаграммы, а затем как латинскую фразу, смысл которой передают словами «каково растяжение, такова сила». Этот результат был важен для пружинных механизмов, часов, измерения сил и развития экспериментальной механики. Позднее закон Гука стал частью более широкой теории упругости, где деформации и напряжения описывают не только для пружин, но и для стержней, пластин и трехмерных тел. В школьной физике формула -kx остается самым простым и наглядным видом закона: она показывает линейную связь между деформацией и возвращающей силой, а также подводит к жесткости, энергии пружины и малым колебаниям.

Историческая линия формулы

Закон назван в честь Роберта Гука, который сформулировал пропорциональность силы и деформации для упругих тел. Современная запись через жесткость k и векторное смещение является учебной формой этой идеи для линейной пружины.

Пример

Пружину жесткостью 120 Н/м растянули на 5 см вправо от положения равновесия. Переводим x = 0,05 м. Модуль силы упругости равен F = kx = 120·0,05 = 6 Н. Векторная запись дает Fупр = -kx, то есть сила направлена влево, обратно смещению. Если к пружине подвесить груз и он покоится, сила упругости вверх уравновесит вес груза. Для груза весом 6 Н растяжение такой пружины как раз составит 0,05 м. Проверка: при удвоении растяжения сила в пределах закона Гука тоже удвоится. Если деформация сжатия, модуль считается так же, но направление меняется.

Частая ошибка

Частая ошибка - терять знак минус и затем неверно выбирать направление силы. В расчетах модуля используют F = kx, но на рисунке сила всегда направлена к равновесию. Вторая ошибка - подставлять сантиметры вместо метров. Третья ошибка - считать жесткость свойством только материала: она зависит еще от формы, длины и конструкции упругого элемента. Нельзя применять линейный закон к сильно растянутой или поврежденной пружине.

Практика

Задачи с решением

Сила пружины

Условие. Пружина жесткостью 80 Н/м растянута на 0,03 м. Найдите модуль силы упругости.

Решение. F = kx = 80·0,03 = 2,4 Н.

Ответ. 2,4 Н

Жесткость по растяжению

Условие. Сила 5 Н растянула пружину на 2 см. Найдите жесткость.

Решение. x = 0,02 м. k = F/x = 5/0,02 = 250 Н/м.

Ответ. 250 Н/м

Дополнительные источники

  • OpenStax College Physics 2e: Hooke's Law
  • OpenStax University Physics: Elasticity and simple harmonic motion

Связанные формулы

Физика

Относительное удлинение

$\varepsilon=\frac{\Delta l}{l_0}$

Относительное удлинение показывает, какую долю от первоначальной длины составляет изменение длины тела при растяжении или сжатии, и является безразмерной мерой деформации.

Физика

Малые колебания около положения равновесия

$\omega^2=\frac{U''(q_0)}{m_{eff}}$

Частота малых колебаний около устойчивого равновесия определяется второй производной потенциальной энергии в точке равновесия и эффективной массой координаты.