Все формулы РФ

Аналитика / Описательная статистика

Усечённое среднее: симметричное удаление крайних значений

Усечённое среднее получают, удалив одинаковое число наименьших и наибольших наблюдений, а затем усреднив оставшиеся. Параметр k задаёт число удалений с каждого края, а не общее число отброшенных значений.

Опубликовано: Обновлено:

Среднее, медианаСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справкаГрафики, таблицы

Формула

$$\bar{x}_{\mathrm{trim}}=\frac{1}{n-2k}\sum_{i=k+1}^{n-k}x_{(i)}$$
Схема Усечение по одному значению
Усечение по одному значениюУсечение по одному значениюПозиция12345Значение1234100Оставить?нетдададанет(2 + 3 + 4) / 3 = 3 мс

Оставшиеся 2, 3, 4 мс дают среднее 3 мс.

Обозначения

$x₍ᵢ₎$
i-е значение после сортировки по возрастанию, единицы X
$n$
исходное число наблюдений, безразмерная величина
$k$
число удалений с каждого края, безразмерная величина
$x̄trim$
среднее оставшихся значений, единицы X

Условия применения

Значения сортируют по возрастанию, k — целое неотрицательное число и 2k<n. Из каждого хвоста удаляют ровно k наблюдений, включая повторяющиеся значения по их позициям. При задании доли α здесь используем k=floor(αn), где 0≤α<0,5.

Ограничения

Усечённое среднее не является средним всей исходной выборки и не сохраняет её сумму. Для асимметричных распределений оно может заметно отличаться от математического ожидания. Выбор доли после просмотра желаемого результата искажает сравнение; интервал неопределённости требует отдельного метода.

Подробное объяснение

Обычное среднее учитывает каждое значение с весом 1/n. После симметричного усечения крайние k наблюдений с каждой стороны получают нулевой вес, а оставшиеся — одинаковый вес 1/(n−2k). Поэтому знаменатель должен измениться вместе с числом используемых наблюдений.

Сортировка необходима: удаляются крайние по величине, а не первые и последние по времени записи. Если значения на границе совпадают, удаление любой нужной части одинаковых наблюдений даёт одинаковую сумму, но число оставшихся записей всё равно должно быть n−2k.

Параметр доли часто понимают неодинаково. Здесь 10% означает 10% с каждого края, то есть примерно 20% всего набора. Из-за целочисленного округления на маленькой выборке фактическая доля может отличаться: при n=8 и α=0,1 имеем k=0, и усечения нет.

Чем сильнее усечение, тем меньше влияние дальних хвостов, но тем меньше данных участвует в арифметическом среднем. При k=0 получается исходное среднее; при нечётном n и k=(n−1)/2 остаётся единственная медиана. Это последовательный переход между двумя мерами центра.

Усечение отличается от винзоризации: последняя заменяет крайние значения граничными, сохраняя n записей. Результаты могут совпасть на симметричном примере, но это не одно и то же действие. В отчёте следует хранить исходные данные и параметр k, чтобы показатель можно было воспроизвести.

Как пользоваться формулой

  1. Заранее выберите число k или долю α с каждого края и зафиксируйте правило целочисленного округления.
  2. Отсортируйте все числовые наблюдения, сохранив исходный набор отдельно для воспроизводимости расчёта.
  3. Удалите ровно k наименьших и k наибольших значений; проверьте, что хотя бы одно значение осталось.
  4. Сложите оставшиеся значения и разделите на n−2k, затем укажите параметр усечения рядом с ответом.

Историческая справка

Усечённое среднее входит в семейство устойчивых оценок положения, развивавшихся вместе с исследовательским анализом данных и теорией робастной статистики в XX веке. Оно сохраняет арифметическое усреднение центральной части, но ограничивает вклад хвостов с помощью порядковых статистик. Современная документация R включает параметр trim непосредственно в функцию среднего, а справочники NIST рассматривают усечение рядом с винзоризацией при оценке разброса и стандартной ошибки. Такое соседство отражает связь методов, но не их тождество: удаление и замена крайних наблюдений создают разные веса. Единственная универсальная доля усечения историей метода не задаётся; она зависит от задачи и должна быть названа в описании расчёта. В статье используется явное целое k, чтобы избежать неоднозначности процентов.

Историческая линия формулы

Усечённое среднее — стандартная оценка центра в устойчивой статистике, без приписывания одной элементарной формулы единственному автору. Для воспроизводимости важны число удалённых наблюдений с каждой стороны и правило округления доли, а не только название метода.

Пример

Для пяти измерений 1,2,3,4,100 мс требуется усечённое среднее с k=1 с каждого края. После сортировки удаляем 1 и 100 мс, оставляем 2,3,4 мс. Их сумма равна 9 мс, количество n−2k = 5−2 = 3, поэтому среднее равно 9/3 = 3 мс. Обычное среднее исходного набора было 110/5 = 22 мс. Разница объясняется влиянием длинной задержки 100 мс; удаление второго хвоста является частью симметричного правила. Проверка: результат 3 мс лежит между минимальным и максимальным из оставшихся значений. Это описание усечённого набора, а не исправление исходного измерения 100 мс как ошибочного.

Частая ошибка

Не делите сумму оставшихся наблюдений на исходное n. Не удаляйте только неудобные крупные значения, называя операцию симметричной. Не путайте долю с каждого края с общей удаляемой долей. Не считайте усечение доказательством ошибки в исходных данных. Не выбирайте k ради заранее желаемого среднего.

Практика

Задачи с решением

Шесть значений

Условие. Найдите усечённое среднее 1,2,3,4,5,20 при k = 1.

Решение. Остаются 2,3,4,5. Их сумма 14, число 4, среднее 14/4 = 3,5.

Ответ. 3,5

Малая доля

Условие. Для 2,4,6,8 возьмите α = 0,1 с каждого края и k = floor(αn).

Решение. k = floor(0,4) = 0, поэтому ничего не удаляем. Среднее (2+4+6+8)/4 = 5.

Ответ. 5

Дополнительные источники

  • https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/base/html/mean.html
  • https://itl.nist.gov/div898/software/dataplot/refman2/auxillar/trimmse.htm

Связанные формулы

Аналитика

Среднее арифметическое

$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$

Среднее арифметическое показывает типичный уровень числового показателя как сумму всех значений, деленную на количество наблюдений.

Аналитика

Медиана

$Me=x_{(\frac{n+1}{2})}\quad\text{для нечетного }n$

Медиана делит упорядоченный набор данных пополам: половина значений не больше медианы, а половина не меньше ее. Это устойчивая мера типичного значения.

Аналитика

Винзоризированное среднее: замена крайних значений

$\bar{x}_W=\frac{kx_{(k+1)}+\sum_{i=k+1}^{n-k}x_{(i)}+kx_{(n-k)}}{n}$

Винзоризированное среднее ограничивает влияние хвостов: k нижних значений заменяют ближайшей оставшейся границей, k верхних — верхней границей. Количество наблюдений и знаменатель n сохраняются.