Все формулы РФ

Математика / Геометрия

Второй признак равенства треугольников

Второй признак равенства треугольников использует сторону и два прилежащих к ней угла. Такой набор однозначно задает треугольник. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаФормулы по математике за 7 классГеометрияВиды треугольников, признаки равенстваПланиметрияЕсть историческая справкаСтраницы с задачами и решениями

Формула

$$AB=A_1B_1,\ \angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1\Rightarrow \triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1$$
Чертеж Схема: второй признак равенства треугольников

На рисунке отмечены прямые, вершина угла и дуги равных или дополнительных углов; подписи показывают, какие величины входят в формулу.

Чертеж помогает отделить заданные углы от тех, которые нужно найти по равенству или сумме.

Обозначения

$AB$
известная сторона первого треугольника, единицы длины
$A_1B_1$
соответствующая сторона второго треугольника, единицы длины
$\angle A, \angle B$
углы, прилежащие к стороне AB, градусы
$\angle A_1, \angle B_1$
соответствующие углы второго треугольника, градусы

Условия применения

  • Равна одна сторона и два угла, прилежащие к этой стороне.
  • Сторона должна соответствовать стороне между равными углами во втором треугольнике.
  • Соответствие вершин записывается в одном порядке.
  • Равенства углов должны следовать из условия, параллельности, вертикальных углов или других доказанных фактов.

Ограничения

  • Если дана сторона не между указанными углами, нужно проверить, является ли это тем же признаком в выбранном порядке.
  • Нельзя заключать равенство треугольников только по трем углам: это дает подобие, а не равенство.
  • Для применения признака нужна хотя бы одна равная сторона.
  • Ошибочный порядок вершин приводит к неверному соответствию сторон.

Подробное объяснение

Второй признак говорит, что сторона вместе с двумя прилежащими углами фиксирует треугольник. Если известна сторона AB и направления двух лучей из ее концов под заданными углами, то эти лучи пересекутся в единственной точке C, поэтому форма и размер треугольника определены.

Отличие от равенства по трем углам принципиально. Углы задают только форму, но не масштаб: можно построить большой и маленький треугольники с одинаковыми углами. Равная сторона закрепляет масштаб и превращает подобие в равенство.

В задачах второй признак часто появляется при параллельных прямых. Накрест лежащие или соответственные углы дают две пары равных углов, а общая или заданная сторона дает равенство нужной стороны.

После доказательства равенства треугольников можно переносить остальные элементы: третьи стороны, оставшиеся углы, медианы или части отрезков. Но эти выводы должны идти после ссылки на признак, а не до нее.

Порядок записи треугольников помогает избежать путаницы. Если triangle ABC congruent triangle A1B1C1, то вершина A соответствует A1, B соответствует B1, C соответствует C1. Тогда выводы о равных сторонах и углах становятся однозначными.

Для записи «Второй признак равенства треугольников» особенно важно сохранять исходные условия: именно они показывают, когда преобразование или вывод остаются равносильными и когда похожая по виду операция уже требует другого правила.

Как пользоваться формулой

  1. Выберите сторону, равенство которой известно или следует из общей стороны.
  2. Найдите два угла, прилежащие к этой стороне в первом треугольнике.
  3. Найдите соответствующие равные углы во втором треугольнике.
  4. Проверьте порядок вершин и соответствие стороны между углами.
  5. Запишите равенство треугольников по второму признаку.
  6. Сделайте нужный вывод о соответствующих сторонах или углах.

Историческая справка

Второй признак равенства треугольников также принадлежит классической геометрии треугольника. В традиционной международной записи он соответствует случаю ASA: angle-side-angle. Такие признаки были нужны для строгих построений и доказательств без измерения всех элементов фигуры.

В евклидовой геометрии треугольник считается жесткой фигурой: некоторые наборы элементов полностью определяют его. Признаки равенства описывают минимальные достаточные наборы, которые позволяют переносить свойства с одного треугольника на другой.

В российской школьной геометрии второй признак обычно изучают сразу после первого. Он расширяет инструменты доказательства, потому что во многих чертежах легче получить равные углы из параллельности или вертикальных углов, чем доказать равенство двух сторон. В учебной традиции эта запись закрепилась потому, что она сокращает длинное рассуждение до проверяемого правила: сначала формулируются условия, затем выполняется преобразование, а результат можно проверить обратной подстановкой или геометрической интерпретацией.

Историческая линия формулы

Признак относится к евклидовой традиции доказательной геометрии. Его не приписывают одному современному автору: это базовое свойство треугольников, закрепленное в классической системе геометрии и школьной традиции. Поэтому в источниках обычно указывают учебную или научную традицию, а не единственного автора короткой записи.

Пример

Задача. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, причем AO=BO, угол AOC равен углу BOD, а угол CAO равен углу DBO. Доказать, что AC=BD. Дано: рассматриваем треугольники AOC и BOD. Стороны AO и BO равны по условию. Углы AOC и BOD равны по условию; они прилежат к сторонам AO и BO. Углы CAO и DBO также равны и прилежат к этим сторонам. По второму признаку треугольники AOC и BOD равны. Следовательно, соответствующие стороны AC и BD равны. Ответ: AC=BD. Проверка: использована одна сторона и два угла при ней, а не просто три угла. Поэтому доказано именно равенство, а не подобие. Дополнительная проверка: сравниваем результат с исходной записью при допустимых значениях переменных или на граничном случае из условия. Если обе записи дают одно и то же значение и не нарушают ограничения, преобразование выполнено согласованно.

Частая ошибка

Частая ошибка — доказывать равенство по двум или трем углам без равной стороны; это дает только одинаковую форму. Вторая ошибка — брать сторону, которая не соответствует выбранной паре углов. При параллельных прямых иногда путают накрест лежащие и односторонние углы, получая ложное равенство. Еще забывают, что общая сторона тоже должна быть названа в доказательстве.

Практика

Задачи с решением

Сторона и два угла

Условие. AB=A1B1, угол A равен углу A1, угол B равен углу B1. Что следует?

Решение. Сторона AB лежит между углами A и B; во втором треугольнике A1B1 лежит между A1 и B1. Значит треугольники равны.

Ответ. Треугольники равны по второму признаку.

Только углы

Условие. У двух треугольников равны три угла. Достаточно ли этого для равенства?

Решение. Нет, треугольники могут быть разных размеров; равенство углов дает подобие.

Ответ. Недостаточно.

Дополнительные источники

  • Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 7-9 классы, второй признак равенства треугольников
  • Погорелов А.В. Геометрия. 7-9 классы, признаки равенства треугольников
  • ФИПИ, открытый банк заданий ОГЭ по математике, треугольники и углы

Связанные формулы

Математика

Углы при параллельных прямых и секущей

$a\parallel b\Rightarrow \alpha=\beta,\quad \gamma+\delta=180^\circ$

При параллельных прямых и секущей накрест лежащие и соответственные углы равны, а односторонние углы в сумме дают 180 градусов.

Математика

Вертикальные углы

$\alpha = \beta$

Вертикальные углы: вертикальные углы возникают при пересечении двух прямых и лежат напротив друг друга. В вычислениях это записывают как alpha = beta, если обозначения выбраны как в формуле.

Математика

Сумма углов треугольника

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Сумма углов треугольника: три внутренних угла любого треугольника вместе образуют 180 градусов. В вычислениях это записывают как alpha + beta + gamma = 180 градусов, если обозначения выбраны как в формуле.

Математика

Внешний угол треугольника

$\alpha_{\text{внеш}} = \beta + \gamma$

Внешний угол треугольника: внешний угол при вершине треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В вычислениях это записывают как alpha внеш = beta + gamma, если обозначения выбраны как в формуле.

Математика

Признак параллельности прямых по углам

$\alpha=\beta\Rightarrow a\parallel b,\quad \gamma+\delta=180^\circ\Rightarrow a\parallel b$

Если при пересечении двух прямых секущей равны накрест лежащие или соответственные углы, прямые параллельны; то же верно при сумме односторонних углов 180 градусов.

Математика

Сумма смежных углов

$\alpha + \beta = 180^\circ$

Сумма смежных углов: смежные углы имеют общую сторону, а две другие стороны образуют прямую. В вычислениях это записывают как alpha + beta = 180 градусов, если обозначения выбраны как в формуле.

Математика

Периметр треугольника

$P = a + b + c$

Периметр треугольника: периметр треугольника равен длине всей его границы. В вычислениях это записывают как P = a + b + c, если обозначения выбраны как в формуле.

Математика

Неравенство треугольника

$a+b>c,\quad a+c>b,\quad b+c>a$

В любом треугольнике сумма длин двух сторон больше длины третьей стороны. Это условие проверяет, можно ли построить треугольник по трем отрезкам.