Предмет

Математика, страница 10

Формулы по алгебре, геометрии, тригонометрии, началам анализа и вероятности.

603 формулы

Все формулы раздела

Показаны 541-600 из 603. Остальные формулы доступны на соседних страницах раздела.

Средняя линия треугольника в задачах 8 класса

Средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна половине этой третьей стороны.

$m=\frac{a}{2}$

Теорема Фалеса

Теорема Фалеса утверждает, что параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на этих сторонах пропорциональные отрезки.

$\frac{AB}{BC}=\frac{A_1B_1}{B_1C_1}$

Подобие треугольников по двум углам

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны, а их стороны пропорциональны.

$\angle A=\angle A_1,\;\angle B=\angle B_1\Rightarrow \triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1$

Разделение переменных в дифференциальном уравнении первого порядка

Формула описывает метод «разделение переменных» для решения обыкновенного дифференциального уравнения. Она показывает, как перейти от связи между функцией и производной к интегралам, алгебраическому уравнению или вспомогательной функции с постоянной интегрирования.

$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y),\quad \int\frac{dy}{h(y)}=\int g(x)\,dx+C$

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Формула описывает метод «интегрирующий множитель линейного уравнения» для решения обыкновенного дифференциального уравнения. Она показывает, как перейти от связи между функцией и производной к интегралам, алгебраическому уравнению или вспомогательной функции с постоянной интегрирования.

$y'+p(x)y=q(x),\quad \mu=e^{\int p(x)dx},\quad y\mu=\int \mu q(x)dx+C$

Уравнение Бернулли первого порядка

Формула описывает метод «замена Бернулли» для решения обыкновенного дифференциального уравнения. Она показывает, как перейти от связи между функцией и производной к интегралам, алгебраическому уравнению или вспомогательной функции с постоянной интегрирования.

$y'+p(x)y=q(x)y^n,\quad z=y^{1-n}$

Однородное дифференциальное уравнение первого порядка

Формула описывает метод «замена y=vx» для решения обыкновенного дифференциального уравнения. Она показывает, как перейти от связи между функцией и производной к интегралам, алгебраическому уравнению или вспомогательной функции с постоянной интегрирования.

$y'=F\left(\frac yx\right),\quad y=vx,\quad y'=v+xv'$

Точное дифференциальное уравнение первого порядка

Формула описывает метод «потенциальная функция» для решения обыкновенного дифференциального уравнения. Она показывает, как перейти от связи между функцией и производной к интегралам, алгебраическому уравнению или вспомогательной функции с постоянной интегрирования.

$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,\quad M=\Phi_x,\;N=\Phi_y,\quad \Phi=C$

Интегрирующий множитель для уравнения первого порядка

Формула описывает метод «интегрирующий множитель общего уравнения» для решения обыкновенного дифференциального уравнения. Она показывает, как перейти от связи между функцией и производной к интегралам, алгебраическому уравнению или вспомогательной функции с постоянной интегрирования.

$\mu Mdx+\mu Ndy=0,\quad (\mu M)_y=(\mu N)_x$

Характеристическое уравнение линейного ОДУ второго порядка

Формула описывает метод «характеристическое уравнение» для решения обыкновенного дифференциального уравнения. Она показывает, как перейти от связи между функцией и производной к интегралам, алгебраическому уравнению или вспомогательной функции с постоянной интегрирования.

$ay''+by'+cy=0,\quad ar^2+br+c=0$

Решение однородного линейного ОДУ с постоянными коэффициентами

Формула описывает метод «суперпозиция экспонент» для решения обыкновенного дифференциального уравнения. Она показывает, как перейти от связи между функцией и производной к интегралам, алгебраическому уравнению или вспомогательной функции с постоянной интегрирования.

$ay''+by'+cy=0,\quad y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$

Метод неопределенных коэффициентов для линейного ОДУ

Формула описывает метод «подбор частного решения» для решения обыкновенного дифференциального уравнения. Она показывает, как перейти от связи между функцией и производной к интегралам, алгебраическому уравнению или вспомогательной функции с постоянной интегрирования.

$L[y]=f(x),\quad y=y_h+y_p$

Метод вариации постоянных для линейного ОДУ

Формула описывает метод «вариация постоянных» для решения обыкновенного дифференциального уравнения. Она показывает, как перейти от связи между функцией и производной к интегралам, алгебраическому уравнению или вспомогательной функции с постоянной интегрирования.

$y_p=u_1y_1+u_2y_2,\quad u_1'y_1+u_2'y_2=0$

Правило суммы в комбинаторике

Формула описывает прием «сложение несовместных случаев» для подсчета конечных объектов без полного перебора. Она фиксирует, что именно считается: случаи, шаги, группы, пересечения, рекуррентные члены или пары вершин, и помогает избежать двойного счета.

$N=m_1+m_2+\cdots+m_k$

Правило произведения в комбинаторике

Формула описывает прием «умножение последовательных шагов» для подсчета конечных объектов без полного перебора. Она фиксирует, что именно считается: случаи, шаги, группы, пересечения, рекуррентные члены или пары вершин, и помогает избежать двойного счета.

$N=m_1m_2\cdots m_k$

Число перестановок без повторений

Формула описывает прием «перестановки разных объектов» для подсчета конечных объектов без полного перебора. Она фиксирует, что именно считается: случаи, шаги, группы, пересечения, рекуррентные члены или пары вершин, и помогает избежать двойного счета.

$P_n=n!$

Число размещений без повторений

Формула описывает прием «упорядоченный выбор» для подсчета конечных объектов без полного перебора. Она фиксирует, что именно считается: случаи, шаги, группы, пересечения, рекуррентные члены или пары вершин, и помогает избежать двойного счета.

$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$

Число сочетаний без повторений

Формула описывает прием «неупорядоченный выбор» для подсчета конечных объектов без полного перебора. Она фиксирует, что именно считается: случаи, шаги, группы, пересечения, рекуррентные члены или пары вершин, и помогает избежать двойного счета.

$C_n^k=\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Бином Ньютона для конечной степени

Формула описывает прием «биномиальное разложение» для подсчета конечных объектов без полного перебора. Она фиксирует, что именно считается: случаи, шаги, группы, пересечения, рекуррентные члены или пары вершин, и помогает избежать двойного счета.

$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk a^{n-k}b^k$

Формула включений и исключений для двух множеств

Формула включений и исключений для двух множеств считает размер объединения A и B: складывает мощности множеств и один раз вычитает их пересечение. Она нужна, когда объект может иметь оба признака сразу, поэтому простая сумма дает двойной счет.

$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$

Формула включений и исключений для трех множеств

Формула включений и исключений для трех множеств считает элементы, попавшие хотя бы в одно из A, B или C. Она складывает три мощности, вычитает попарные пересечения и возвращает тройное пересечение, чтобы каждый объект был учтен ровно один раз.

$|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|$

Рекуррентная формула чисел Фибоначчи

Формула описывает прием «рекуррентное сложение» для подсчета конечных объектов без полного перебора. Она фиксирует, что именно считается: случаи, шаги, группы, пересечения, рекуррентные члены или пары вершин, и помогает избежать двойного счета.

$F_0=0,\quad F_1=1,\quad F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$

Число ребер полного графа

Формула описывает прием «подсчет пар вершин» для подсчета конечных объектов без полного перебора. Она фиксирует, что именно считается: случаи, шаги, группы, пересечения, рекуррентные члены или пары вершин, и помогает избежать двойного счета.

$E(K_n)=\binom n2=\frac{n(n-1)}2$

Уравнение линейной функции по двум точкам графика

Уравнение линейной функции по двум точкам графика: формула k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\ b=y_1-kx_1 помогает величины k, b, x_1, y_1 заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\ b=y_1-kx_1$

Угловой коэффициент прямой по подъему и шагу

Угловой коэффициент прямой по подъему и шагу: формула k=\frac{\Delta y}{\Delta x} помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется найти наклон прямой по клеткам графика. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}$

Вершина параболы по коэффициентам квадратной функции

Вершина параболы по коэффициентам квадратной функции: формула x_0=-\frac{b}{2a},\ y_0=f(x_0) помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется определить вершину графика y=ax^2+bx+c. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

$x_0=-\frac{b}{2a},\ y_0=f(x_0)$

Монотонность функции по знаку производной

Монотонность функции по знаку производной: формула f'(x)>0\Rightarrow f\uparrow,\ f'(x)<0\Rightarrow f\downarrow помогает величины f, x заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

$f'(x)>0\Rightarrow f\uparrow,\ f'(x)<0\Rightarrow f\downarrow$

Критические точки функции по уравнению f'(x)=0

Критические точки функции по уравнению f'(x)=0: формула f'(x)=0 помогает величины f, x заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

$f'(x)=0$

Уравнение касательной к графику в точке

Уравнение касательной к графику в точке: формула y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) помогает величины y, f, x, x_0 заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

Первообразная по начальному значению

Первообразная по начальному значению: формула F(x)=\int f(x)dx+C помогает величины F, f, x, C заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

$F(x)=\int f(x)dx+C$

Площадь под линейным графиком через интеграл

Площадь под линейным графиком через интеграл: формула S=\int_a^b f(x)\,dx помогает величины S, a, b, f заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

$S=\int_a^b f(x)\,dx$

Логарифмическое уравнение с одинаковым основанием

Логарифмическое уравнение с одинаковым основанием: формула \log_a u=\log_a v\Rightarrow u=v помогает величины a, u, v заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

$\log_a u=\log_a v\Rightarrow u=v$

Показательное уравнение с одинаковым основанием

Показательное уравнение с одинаковым основанием: формула a^u=a^v\Rightarrow u=v помогает величины a, u, v заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

$a^u=a^v\Rightarrow u=v$

Решение уравнения sin x = a

Решение уравнения sin x = a: формула x=(-1)^n\arcsin a+\pi n помогает величины x, a, n заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

$x=(-1)^n\arcsin a+\pi n$

Решение уравнения cos x = a

Решение уравнения cos x = a: формула x=\pm\arccos a+2\pi n помогает величины x, a, n заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

$x=\pm\arccos a+2\pi n$

Объем призмы через площадь основания и высоту

Объем призмы через площадь основания и высоту: формула V=S_{base}h помогает величины V, S, h заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

$V=S_{base}h$

Объем пирамиды через площадь основания и высоту

Объем пирамиды через площадь основания и высоту: формула V=\frac13 S_{base}h помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется отличить объем пирамиды от объема призмы. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

$V=\frac13 S_{base}h$

Радиус сечения конуса через подобие

Радиус сечения конуса через подобие: формула \frac{r}{R}=\frac{h_1}{h} помогает величины r, R, h_1, h заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

$\frac{r}{R}=\frac{h_1}{h}$

Произведение вероятностей независимых событий

Произведение вероятностей независимых событий: формула P(A\cap B)=P(A)P(B) помогает величины P, A, B заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

$P(A\cap B)=P(A)P(B)$

Сумма вероятностей несовместных событий

Сумма вероятностей несовместных событий: формула P(A\cup B)=P(A)+P(B) помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется сложить шансы вариантов, которые не могут произойти вместе. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$