Аналитика / Статистические выводы

Интервал Ньюкомба, метод 10, для разности долей

Метод Ньюкомба 10 строит доверительный интервал для разности двух независимых биномиальных долей, сочетая Wilson score границы каждой группы по квадратам отклонений. Он не подменяет неопределённость разности простым Wald стандартным отклонением и сохраняет асимметрию у крайних долей.

Опубликовано: 8 ноября 2026 г.Обновлено: 8 ноября 2026 г.

Формула

\begin{aligned}\hat p_i&=x_i/n_i,\\L_i,U_i&=\frac{\hat p_i+z^2/(2n_i)\pm z\sqrt{\hat p_i(1-\hat p_i)/n_i+z^2/(4n_i^2)}}{1+z^2/n_i},\\d_L&=d-\sqrt{(\hat p_1-L_1)^2+(U_2-\hat p_2)^2},\\d_U&=d+\sqrt{(U_1-\hat p_1)^2+(\hat p_2-L_2)^2}.\end{aligned}

Схема Оценки и интервалы разности долей

95%-е интервалы Ньюкомба 10 для трёх независимых сравнений. Шкала показывает p₁−p₂; вертикаль 0 отмечает отсутствие разности.

Обозначения

$x₁,x₂$: число успехов в первой и второй независимых группах, целые числа от 0 до nᵢ
$n₁,n₂$: размеры двух групп, целые положительные числа
$p̂ᵢ=xᵢ/nᵢ$: выборочная доля успеха в группе i, безразмерная величина от 0 до 1
$Lᵢ,Uᵢ$: нижняя и верхняя границы Wilson score интервала для доли группы i, построенного с z=z₁₋α/₂, безразмерные вероятности
$d=p̂₁−p̂₂$: оценка разности долей в указанном порядке групп, разность вероятностей от −1 до 1
$dL,dU$: границы интервала Ньюкомба 10 для разности долей, разность вероятностей
$z$: квантиль стандартного нормального распределения уровня 1−α/2, безразмерное число

Условия применения

Наблюдения внутри каждой группы независимы, а исход бинарный с общей вероятностью успеха в пределах данной группы. Две группы независимы друг от друга; для парных измерений метод не предназначен. Счётчики xᵢ и размеры nᵢ должны быть целыми, nᵢ>0, а доверительный уровень задаёт z=z₁₋α/₂. Порядок групп фиксирует знак разности p₁−p₂.

Ограничения

Метод 10 — score-based приближённый интервал, а не точная условная процедура и не гарантия покрытия ровно на уровне 1−α. Его свойства отличаются от Wald интервала и от точных безусловных интервалов; результаты для малых групп остаются чувствительны к модели и способу отбора. Нельзя менять порядок групп без смены знака и преобразования границ. Если наблюдения связаны попарно, требуется метод для парных долей, например анализ дискордантных пар.

Подробное объяснение

Пусть первая группа имеет x₁ успехов из n₁ наблюдений, вторая — x₂ из n₂. Искомая величина d=p₁−p₂ сравнивает две вероятности в заданном порядке. Сначала для каждой наблюдаемой доли отдельно находят Wilson score интервал; его границы не являются симметричными относительно xᵢ/nᵢ, особенно при малом числе успехов или около 0 и 1.

Нижняя граница Ньюкомба отодвигается от оценки разности на корень суммы квадратов двух соответствующих отклонений: нижнего Wilson отклонения первой доли и верхнего отклонения второй. Верхняя граница использует верхнее отклонение первой и нижнее второй. Квадраты объединяют независимую неопределённость двух оценок, но сохраняют их разную ширину по сторонам.

В формулах Lᵢ и Uᵢ должны быть границами Wilson score при одном уровне доверия, соответствующем z=z₁₋α/₂. Подставлять вместо них Wald границы или брать только один общий стандартный error — уже другая процедура. Точное название метода важно: статья Роберта Ньюкомба сравнивала одиннадцать вариантов, а метод 10 — конкретное сочетание отдельных Wilson интервалов.

Порядок вычитания определяет направление результата. Если d=p̂₁−p̂₂ положительна, в выборке первая доля выше; отрицательная граница говорит, что значения ниже нуля тоже совместимы с данными. Перестановка групп меняет знак оценки, а интервал должен преобразоваться как [−dU,−dL], не просто менять подписи в таблице.

Метод особенно полезен как практичный интервал разности, когда важен размер различия и не хочется полагаться на симметричную Wald конструкцию. Однако его границы не дают автоматически p-value для любого заранее выбранного теста и не являются вероятностью истинности того, что d находится в конкретном вычисленном интервале.

Сравнивайте именно независимые группы. При парном дизайне неопределённость определяется переходами внутри пар, поэтому объединение двух маргинальных Wilson интервалов теряет структуру данных. Также проверьте, что бинарный исход определён одинаково в обеих группах и что периоды наблюдения сопоставимы.

Как пользоваться формулой

Проверьте независимость групп и одинаковое определение бинарного успеха; для повторных измерений одних и тех же объектов выберите парный метод.
Запишите x₁,n₁ и x₂,n₂ целыми счётчиками, затем вычислите p̂₁=x₁/n₁, p̂₂=x₂/n₂ и d=p̂₁−p̂₂.
Выберите доверительный уровень и вычислите z-квантиль 1−α/2; используйте его в Wilson границах обеих групп.
Для каждой доли отдельно найдите нижнюю и верхнюю score границы Lᵢ,Uᵢ, не округляя промежуточные значения.
Подставьте отклонения по соответствующим сторонам: снизу p̂₁−L₁ и U₂−p̂₂, сверху U₁−p̂₁ и p̂₂−L₂.
Сообщите d, интервал, порядок групп и уровень доверия; проверьте, что знак разности согласуется с порядком p̂₁−p̂₂.

Историческая справка

Роберт Ньюкомб в 1998 году сравнил одиннадцать способов строить интервал для разности независимых биномиальных долей. Работа была мотивирована недостатками простых интервалов, прежде всего необычным поведением и покрытием приближённых методов в небольших выборках. Среди рассмотренных вариантов метод, объединяющий отдельные Wilson score интервалы, показал полезные свойства при сравнительно простой вычислительной схеме.

Метод 10 сочетает асимметричные отклонения двух score интервалов по правилу квадратов и корня. Он использует более раннюю конструкцию Эдвина Бидвелла Уилсона для одной биномиальной доли, предложенную в 1927 году. Таким образом, отдельные границы учитывают форму распределения доли, а шаг Ньюкомба собирает две оценки в интервал их разности.

Позднейшие руководства и программные процедуры обычно называют его Newcombe hybrid score или Newcombe score interval; некоторые отдельно предлагают вариант с поправкой на непрерывность. В этой статье рассматривается исходная непрерывно-неисправленная версия method 10 для независимых пропорций. Нумерация методов и параметры alpha в программных интерфейсах могут различаться, поэтому нужно проверять, включена ли поправка и какой уровень доверия задан.

Историческая линия формулы

Метод предложил Роберт Ньюкомб в сравнительном исследовании 1998 года; его метод 10 объединяет Wilson score границы двух независимых долей. Wilson score interval восходит к статье Эдвина Уилсона 1927 года. Здесь используется версия без поправки на непрерывность.

Пример

В тесте сравнили две независимые группы пользователей. В группе 1 конвертировались 18 из 40, в группе 2 — 10 из 35. Требуется оценить разность p₁−p₂ с доверительным уровнем 95%. Выборочные доли равны 0,45 и 0,285714, значит d=0,164286, или около 16,43 процентного пункта. При z=1,959964 Wilson границы группы 1 равны [0,307053; 0,601709], группы 2 — [0,163265; 0,450549]. Нижняя граница: 0,164286−√((0,45−0,307053)²+(0,450549−0,285714)²)=−0,053899. Верхняя: 0,164286+√((0,601709−0,45)²+(0,285714−0,163265)²)=0,359246. Итоговый интервал Ньюкомба 10 примерно [−0,0539; 0,3592]. Он включает ноль, поэтому при таком интервале данные не показывают уверенного отличия долей на уровне 95%. Здесь всё безразмерно; для процентных пунктов границы умножают на 100. Независимая подстановка Wilson границ воспроизводит обе стороны интервала.

Частая ошибка

Не используйте парные данные: метод предполагает независимость групп. Не перепутайте знак p₁−p₂ при смене порядка строк; интервал для обратной разности равен [−dU,−dL]. Не подставляйте Wald или точные биномиальные границы вместо Wilson score Lᵢ,Uᵢ. В нижней формуле нужны отклонения p̂₁−L₁ и U₂−p̂₂, а в верхней — U₁−p̂₁ и p̂₂−L₂. Не называйте score интервал точным или вероятностью для фиксированной разности после наблюдения выборки.

Практика

Задачи с решением

Небольшие независимые группы

Условие. В группе 1 успехов 4 из 12, в группе 2 — 2 из 10. Найдите 95%-й интервал Ньюкомба 10 для p₁−p₂.

Решение. p̂₁=0,333333, p̂₂=0,2, d=0,133333. Wilson интервалы: [0,138120;0,609378] и [0,056682;0,509838]. Подстановка квадратов даёт нижнюю −0,232874 и верхнюю 0,444365.

Ответ. Интервал примерно [−0,2329; 0,4444]; он включает ноль.

Ноль успехов в первой группе

Условие. Группа 1: 0 успехов из 12; группа 2: 4 из 16. Постройте 95%-й интервал разности p₁−p₂ методом 10.

Решение. d=0−0,25=−0,25. Wilson интервалы: [0;0,242494] и [0,101821;0,494983]. Формула Ньюкомба даёт границы −0,494983 и 0,034184.

Ответ. [−0,4950; 0,0342]. Граница первой Wilson доли корректно остаётся при нуле.

Дополнительные источники

https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/9595617/
https://s3-us-west-2.amazonaws.com/misc.biblio/Newcombe98abOnWMWprobCI.pdf
https://www.jstor.org/stable/2276774

Связанные формулы

Аналитика

Интервал Вильсона для биномиальной доли

$\frac{\hat p+z^2/(2n)\pm z\sqrt{\hat p(1-\hat p)/n+z^2/(4n^2)}}{1+z^2/n}$

Интервал Вильсона оценивает неизвестную вероятность успеха по числу успехов в независимых испытаниях. Его границы получают обращением score-теста, и они остаются в допустимом диапазоне вероятностей.

Аналитика

Доверительный интервал для разности долей

$(p_1-p_2)\pm z\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}$

Доверительный интервал для разности долей: формула (p_1-p_2)\pm z\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}} помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется оценить диапазон возможного uplift между группами. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

Аналитика

Доверительный интервал для доли

$\hat p\pm z\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}$

Доверительный интервал для доли: формула \hat p\pm z\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}} помогает величины p, z, n заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

Аналитика

Размер эффекта Cohen's d для двух средних

$d=\frac{\bar x_1-\bar x_2}{s_p}$

Размер эффекта Cohen's d для двух средних: формула d=\frac{\bar x_1-\bar x_2}{s_p} помогает величины d, x_1, x_2, s_p заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.