Математика / Геометрия

Периметр равнобедренного треугольника

Периметр равнобедренного треугольника равен удвоенной боковой стороне плюс основание. Формула использует равенство двух боковых сторон. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.

Опубликовано: 25 мая 2026 г.Обновлено: 25 мая 2026 г.

Школьная программа Формулы по математике за 7 класс Геометрия Виды треугольников, признаки равенства Планиметрия Есть историческая справка Страницы с задачами и решениями

Формула

$$P=2a+b$$

Чертеж Схема: периметр равнобедренного треугольника

На рисунке отмечены прямые, вершина угла и дуги равных или дополнительных углов; подписи показывают, какие величины входят в формулу.

Чертеж помогает отделить заданные углы от тех, которые нужно найти по равенству или сумме.

Обозначения

$P$: периметр равнобедренного треугольника, единицы длины
$a$: боковая сторона, одна из двух равных сторон, единицы длины
$b$: основание треугольника, единицы длины

Условия применения

Треугольник является равнобедренным: две боковые стороны равны.
Величины a и b выражены в одних единицах длины.
Длины сторон положительны и удовлетворяют неравенству треугольника.

Ограничения

Формула не подходит для произвольного треугольника, если две стороны не равны.
Нельзя складывать стороны, записанные в разных единицах, без предварительного перевода.
Если известен периметр и основание, боковую сторону находят как a=(P-b)/2, а не P-b.
Основание b не обязано быть самой длинной стороной, оно просто не равно выбранной боковой стороне в общем случае.

Подробное объяснение

Периметр любого треугольника равен сумме длин трех его сторон. В равнобедренном треугольнике две стороны равны, поэтому их удобно обозначить одной буквой a. Тогда сумма трех сторон a+a+b превращается в 2a+b.

Основание b — это третья сторона, которая соединяет концы равных боковых сторон. В задачах его часто дают отдельно, потому что именно равенство боковых сторон является главным свойством равнобедренного треугольника.

Формула помогает решать и обратные задачи. Если известны P и b, то сначала вычитают основание, получая сумму двух равных боковых сторон, а затем делят на 2. Если известны P и a, основание равно b=P-2a.

Все длины должны быть положительными и согласованными с неравенством треугольника. Например, при a=4 и b=10 треугольник не существует, потому что две боковые стороны в сумме не больше основания.

Запись P=2a+b не меняет общего правила периметра, а уточняет его для частного случая. Поэтому перед применением нужно убедиться, что треугольник действительно равнобедренный, а a выбрана как боковая сторона.

Для записи «Периметр равнобедренного треугольника» важно сохранять исходные условия: они показывают, когда вывод остается верным и когда похожая по виду ситуация требует другого правила.

Как пользоваться формулой

Проверьте, что треугольник равнобедренный.
Обозначьте равные боковые стороны одной буквой a.
Обозначьте основание буквой b.
Подставьте данные в формулу P=2a+b.
Для неизвестной боковой стороны сначала вычтите основание, затем разделите на 2.
Проверьте единицы измерения и неравенство треугольника.

Историческая справка

Формула периметра равнобедренного треугольника является частным случаем общего правила сложения сторон многоугольника. Равнобедренные треугольники изучались еще в древнегреческой геометрии, потому что их симметрия делает многие доказательства и построения наглядными.

В евклидовой традиции равенство сторон и углов при основании играло важную роль в доказательствах. Периметр как сумма длин сторон использовался в практических измерениях земли, строительстве и задачах на построение.

В школьном курсе 7 класса эта запись объединяет арифметическое понятие периметра с геометрическим свойством равнобедренного треугольника. Ученик видит, что специальная формула появляется не отдельно, а из общей суммы сторон после учета равенства двух из них. В учебной традиции эта запись закрепилась потому, что она сокращает длинное рассуждение до проверяемого правила: сначала формулируются условия, затем выполняется преобразование, а результат можно проверить обратной подстановкой или геометрической интерпретацией.

Историческая линия формулы

У формулы нет отдельного автора. Она следует из определения периметра и свойства равнобедренного треугольника. Исторически ее относят к классической евклидовой геометрии и практической традиции измерения сторон фигур. Поэтому в источниках обычно указывают учебную или научную традицию, а не единственного автора короткой записи.

Пример

Задача. Периметр равнобедренного треугольника равен 46 см, а основание равно 14 см. Найти боковую сторону и проверить существование треугольника. Дано: P=46 см, b=14 см. По формуле P=2a+b получаем 46=2a+14. Переносим основание: 2a=46-14=32. Делим на 2: a=16 см. Ответ: боковая сторона равна 16 см. Проверка: стороны треугольника 16 см, 16 см и 14 см. Неравенство треугольника выполняется: 16+14>16 и 16+16>14. Подстановка в формулу также дает 2·16+14=46 см, то есть исходный периметр восстановлен. Дополнительная проверка: результат можно сверить подстановкой в исходные данные или повторным вычислением по общей формуле. Совпадение подтверждает, что условие применено без потери знака, стороны или угла.

Частая ошибка

Частая ошибка — применять формулу к треугольнику, где равных сторон нет. Вторая ошибка — перепутать основание и боковую сторону, особенно если на рисунке основание не горизонтально. При обратной задаче иногда забывают разделить P-b на 2 и получают сумму двух боковых сторон вместо одной. Также нельзя складывать сантиметры и метры без перевода в общую единицу.

Практика

Задачи с решением

Найти периметр

Условие. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 8 см, основание 5 см. Найти P.

Решение. P=2a+b=2·8+5=16+5=21 см.

Ответ. 21 см

Найти боковую сторону

Условие. Периметр равен 34 см, основание 10 см. Найти боковую сторону.

Решение. 34=2a+10, значит 2a=24 и a=12 см.

Ответ. 12 см

Дополнительные источники

Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 7-9 классы, равнобедренный треугольник
Погорелов А.В. Геометрия. 7-9 классы, треугольники
ФИПИ, открытый банк заданий ОГЭ по математике, геометрия: периметры и треугольники

Связанные формулы

Математика

Периметр треугольника

$P = a + b + c$

Периметр треугольника: периметр треугольника равен длине всей его границы. В вычислениях это записывают как P = a + b + c, если обозначения выбраны как в формуле.

Математика

Неравенство треугольника

$a+b>c,\quad a+c>b,\quad b+c>a$

В любом треугольнике сумма длин двух сторон больше длины третьей стороны. Это условие проверяет, можно ли построить треугольник по трем отрезкам.

Математика

Сумма углов треугольника

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Сумма углов треугольника: три внутренних угла любого треугольника вместе образуют 180 градусов. В вычислениях это записывают как alpha + beta + gamma = 180 градусов, если обозначения выбраны как в формуле.

Математика

Внешний угол треугольника

$\alpha_{\text{внеш}} = \beta + \gamma$

Внешний угол треугольника: внешний угол при вершине треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В вычислениях это записывают как alpha внеш = beta + gamma, если обозначения выбраны как в формуле.

Математика

Периметр прямоугольника

$P = 2(a + b)$

Периметр прямоугольника: периметр прямоугольника складывается из двух длин и двух ширин. В вычислениях это записывают как P = 2(a + b), если обозначения выбраны как в формуле.

Математика

Сумма смежных углов

$\alpha + \beta = 180^\circ$

Сумма смежных углов: смежные углы имеют общую сторону, а две другие стороны образуют прямую. В вычислениях это записывают как alpha + beta = 180 градусов, если обозначения выбраны как в формуле.

Математика

Вертикальные углы

$\alpha = \beta$

Вертикальные углы: вертикальные углы возникают при пересечении двух прямых и лежат напротив друг друга. В вычислениях это записывают как alpha = beta, если обозначения выбраны как в формуле.