Математика / Геометрия

Внутренние односторонние углы при параллельных прямых

Если две параллельные прямые пересечены секущей, внутренние односторонние углы в сумме дают 180 градусов. Они дополняют друг друга до развернутого угла. Она помогает не п.

Опубликовано: 25 мая 2026 г.Обновлено: 25 мая 2026 г.

Формула

\alpha+\beta=180^\circ

parallel-lines-transversal Односторонние углы при секущей

Две параллельные прямые пересечены секущей; внутри полосы между прямыми по одну сторону от секущей отмечены углы alpha и beta.

Внутренние односторонние углы при параллельных прямых являются дополнительными.

Обозначения

$\alpha, \beta$: внутренние односторонние углы при двух прямых и секущей, градусы

Условия применения

Две прямые должны быть параллельны.
Обе прямые пересечены одной секущей.
Углы alpha и beta находятся между параллельными прямыми и по одну сторону от секущей.

Ограничения

Если прямые не параллельны, сумма таких углов не обязана равняться 180°.
Нельзя путать внутренние односторонние углы с накрест лежащими: у них разные свойства.
На неточном чертеже параллельность нельзя считать доказанной только по внешнему виду.

Подробное объяснение

Когда секущая пересекает две параллельные прямые, между ними образуется несколько пар углов. Внутренние односторонние углы лежат внутри полосы между параллельными прямыми и по одну сторону от секущей. Их сумма равна 180°.

Это свойство можно понять через смежные и накрест лежащие углы. Один из внутренних односторонних углов равен накрест лежащему углу при другой точке пересечения, а тот вместе со вторым внутренним углом образует развернутый угол. Поэтому сумма равна 180°.

Формула работает и как свойство, и как признак. Если прямые уже известны как параллельные, по ней находят неизвестный угол. Если же при пересечении двух прямых секущей внутренние односторонние углы в сумме дают 180°, это можно использовать для доказательства параллельности прямых.

В задачах 7 класса главная трудность - правильно узнать пару углов. Они должны быть внутри между двумя прямыми и с одной стороны от секущей. Если углы лежат по разные стороны от секущей, это уже накрест лежащая пара, и там при параллельности углы равны.

Чертеж может обманывать: линии выглядят параллельными или углы похожими, но доказательство должно опираться на данные условия, отметки или вычисления. Поэтому формулу применяют только после проверки расположения углов.

Как пользоваться формулой

Убедитесь, что две прямые параллельны или нужно доказать их параллельность.
Найдите секущую, пересекающую обе прямые.
Выберите углы внутри полосы между прямыми и по одну сторону от секущей.
Запишите равенство alpha + beta = 180°.
Если один угол известен, вычтите его из 180°.
Для доказательства параллельности проверьте, равна ли сумма углов 180°.

Историческая справка

Теория углов при параллельных прямых - одна из основ евклидовой геометрии. В античной математике свойства параллельных прямых были связаны с построением строгих доказательств и с знаменитым постулатом о параллельных. Углы при секущей играли ключевую роль в доказательствах о треугольниках и многоугольниках.

В «Началах» Евклида отношения между накрест лежащими, соответственными и односторонними углами используются для вывода многих дальнейших фактов. Сумма внутренних односторонних углов в 180° отражает плоскую евклидову геометрию и тесно связана с тем, что через точку вне прямой проходит единственная параллельная прямая.

В школьной программе 7 класса это свойство вводит язык строгого чертежа: важно не только измерить угол, но и назвать его положение относительно прямых и секущей. Поэтому формула является одновременно вычислительным правилом и элементом доказательства.

В учебной традиции такие формулы стали записывать буквами сравнительно поздно: древние геометры чаще рассуждали словами и чертежами. Современная запись удобна тем, что переводит доказанное свойство фигуры в короткое вычислительное правило, но не отменяет необходимости сначала обосновать само свойство.

Историческая линия формулы

Свойство внутренних односторонних углов относится к классической евклидовой геометрии параллельных прямых. Современная школьная запись alpha + beta = 180° является краткой формой древнего геометрического утверждения. В современной школе ее используют как расчетную форму доказанного свойства, поэтому корректная атрибуция указывает геометрическую традицию, а не персональное изобретение.

Пример

Дано: прямые a и b параллельны, их пересекает секущая c. Один внутренний односторонний угол равен 126°. Найти второй внутренний односторонний угол. Так как прямые параллельны, сумма внутренних односторонних углов равна 180°. Подстановка: beta = 180° - 126° = 54°. Ответ: второй угол равен 54°. Проверка: 126° + 54° = 180°. Значит углы действительно дополняют друг друга до развернутого угла. Если бы второй угол получился тоже 126°, это было бы свойство не односторонних, а другой пары углов. Развернутая запись решения. Условие: При параллельных прямых один внутренний односторонний угол равен 118°. Найдите второй. Дано: \alpha, \beta - внутренние односторонние углы при двух прямых и секущей. Требуется получить искомую величину и проверить ее по исходному условию. Подстановка и вычисление: beta = 180° - 118° = 62°. Ответ: 62°. Проверка должна опираться на геометрическое условие: сумма внутренних углов треугольника равна 180°, смежные углы дают развернутый угол, а равные стороны или биссектриса дают равные элементы. Если проверка нарушает одно из этих условий, значит была взята не та пара углов или не та сторона.

Частая ошибка

Часто внутренние односторонние углы путают с накрест лежащими и ошибочно приравнивают. Другая ошибка - применять свойство без условия параллельности прямых. На чертеже нельзя полагаться только на глаз: если параллельность не дана и не доказана, сумма 180° не гарантирована. Также важно брать углы внутри, а не внешние. Чтобы избежать ошибки, сначала подпишите на чертеже именно те углы или стороны, которые заданы условием, и только потом применяйте формулу. Если результат нарушает сумму углов, положительность длины или условие существования треугольника, вычисление нужно пересмотреть.

Практика

Задачи с решением

Найти второй угол

Условие. При параллельных прямых один внутренний односторонний угол равен 118°. Найдите второй.

Решение. beta = 180° - 118° = 62°.

Ответ. 62°

Проверка параллельности

Условие. Внутренние односторонние углы равны 73° и 107°. Можно ли по этому признаку считать прямые параллельными?

Решение. 73° + 107° = 180°, значит по признаку параллельности прямые параллельны.

Ответ. Да, прямые параллельны.

Дополнительные источники

ФИПИ. Открытый банк заданий ОГЭ по математике: углы при параллельных прямых и секущей
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. Геометрия. 7-9 классы. М.: Просвещение
Погорелов А. В. Геометрия. 7-9 классы. М.: Просвещение

Связанные формулы

Математика

Углы при параллельных прямых и секущей

$a\parallel b\Rightarrow \alpha=\beta,\quad \gamma+\delta=180^\circ$

При параллельных прямых и секущей накрест лежащие и соответственные углы равны, а односторонние углы в сумме дают 180 градусов.

Математика

Признак параллельности прямых по углам

$\alpha=\beta\Rightarrow a\parallel b,\quad \gamma+\delta=180^\circ\Rightarrow a\parallel b$

Если при пересечении двух прямых секущей равны накрест лежащие или соответственные углы, прямые параллельны; то же верно при сумме односторонних углов 180 градусов.

Математика

Сумма смежных углов

$\alpha + \beta = 180^\circ$

Сумма смежных углов: смежные углы имеют общую сторону, а две другие стороны образуют прямую. В вычислениях это записывают как alpha + beta = 180 градусов, если обозначения выбраны как в формуле.

Математика

Вертикальные углы

$\alpha = \beta$

Вертикальные углы: вертикальные углы возникают при пересечении двух прямых и лежат напротив друг друга. В вычислениях это записывают как alpha = beta, если обозначения выбраны как в формуле.

Математика

Сумма углов треугольника

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Сумма углов треугольника: три внутренних угла любого треугольника вместе образуют 180 градусов. В вычислениях это записывают как alpha + beta + gamma = 180 градусов, если обозначения выбраны как в формуле.

Математика

Внешний угол треугольника

$\alpha_{\text{внеш}} = \beta + \gamma$

Внешний угол треугольника: внешний угол при вершине треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В вычислениях это записывают как alpha внеш = beta + gamma, если обозначения выбраны как в формуле.

Математика

Периметр треугольника

$P = a + b + c$

Периметр треугольника: периметр треугольника равен длине всей его границы. В вычислениях это записывают как P = a + b + c, если обозначения выбраны как в формуле.

Математика

Неравенство треугольника

$a+b>c,\quad a+c>b,\quad b+c>a$

В любом треугольнике сумма длин двух сторон больше длины третьей стороны. Это условие проверяет, можно ли построить треугольник по трем отрезкам.