Математика / Функции и графики

Значение линейной функции по заданному аргументу

Формула позволяет найти значение линейной функции y = kx + b в конкретной точке: вместо x подставляют заданный аргумент x0 и выполняют обычные вычисления. Она связывает з.

Опубликовано: 25 мая 2026 г.Обновлено: 25 мая 2026 г.

Формула

$$y_0 = kx_0 + b$$

Обозначения

$y_0$: значение функции при выбранном аргументе, зависит от задачи
$x_0$: заданный аргумент функции, зависит от задачи
$k$: коэффициент при аргументе, показывающий изменение y при увеличении x на 1, единиц y на единицу x
$b$: свободный член, значение функции при x = 0, единицы y

Условия применения

Функция должна быть записана в виде y = kx + b или легко приводиться к этому виду.
Значения k, b и x0 должны быть известны до подстановки.
Все величины в прикладной задаче должны быть выражены в согласованных единицах.

Ограничения

Формула не описывает функции, где x стоит в квадрате, в знаменателе, под корнем или внутри модуля.
Одно вычисление y0 не дает весь график: для построения прямой нужны хотя бы две точки или точка и коэффициент наклона.
Если линейная модель взята из реальной ситуации, результат имеет смысл только в том диапазоне x, где эта модель допустима.

Подробное объяснение

Линейная функция задает правило, по которому каждому допустимому значению x сопоставляется одно значение y. Формула y0 = kx0 + b просто фиксирует это правило для одной выбранной точки: вместо переменной x берут конкретное число x0.

Смысл подстановки хорошо виден на графике. Точка с абсциссой x0 лежит на прямой, а ее ордината равна kx0 + b. Коэффициент k отвечает за наклон прямой, а b показывает, где график пересекает ось Oy. Поэтому вычисление значения функции одновременно дает координату точки графика.

Если x0 увеличивается на 1, значение y меняется на k. При положительном k значения растут, при отрицательном - уменьшаются, при k = 0 остаются одинаковыми. Поэтому формула удобна не только для счета, но и для понимания поведения прямой.

В учебных задачах по 7 классу ее применяют при составлении таблицы значений, проверке принадлежности точки графику и решении текстовых задач с постоянной скоростью изменения. Важно подставлять именно аргумент, а не значение функции, и аккуратно раскрывать знаки при отрицательных числах.

От уравнения прямой эта запись отличается акцентом: здесь мы не ищем все пары (x; y), а вычисляем одну конкретную пару. Но если повторить подстановку для двух разных x0, получатся две точки, по которым уже можно построить график линейной функции.

Как пользоваться формулой

Приведите функцию к виду y = kx + b и отдельно запишите коэффициенты k и b.
Найдите в условии заданный аргумент x0, не смешивая его со значением y.
Подставьте x0 вместо x в правую часть формулы.
Сначала выполните умножение kx0, затем прибавьте свободный член b.
Запишите ответ как значение функции или как координату точки (x0; y0).
Проверьте знак результата, особенно если k или x0 отрицательны.

Историческая справка

Идея функции как зависимости одной величины от другой складывалась постепенно. В XVII веке Рене Декарт связал алгебраические уравнения с геометрическими кривыми через координаты, а это позволило рассматривать формулу как правило построения точек. Само слово function в математике закреплялось в работах Готфрида Лейбница и Иоганна Бернулли, а в XVIII веке Леонард Эйлер сделал запись функций привычной частью анализа.

Линейные зависимости при этом намного старше современной терминологии. Таблицы с постоянным приростом встречались в торговых расчетах, землемерии и астрономии задолго до школьного курса алгебры. Современная школьная запись y = kx + b появилась как результат развития буквенной алгебры и координатного метода: она одновременно удобна для вычислений и для построения прямой на координатной плоскости.

В 7 классе эта формула важна исторически не как отдельное открытие, а как вход в функциональное мышление. Ученик впервые видит, что одно выражение может порождать множество пар чисел, таблицу, график и текстовую модель постоянного изменения.

Историческая линия формулы

У формулы y0 = kx0 + b нет единственного автора. Она относится к школьной записи линейной функции, возникшей из буквенной алгебры, координатного метода Декарта и последующего развития понятия функции в европейской математике XVII-XVIII веков. В современной школьной записи она выражает общий координатный подход: коэффициенты формулы задают положение прямой и позволяют вычислять координаты без отдельного построения.

Пример

Дано: функция y = -2x + 3, аргумент x0 = -4. Нужно найти y0 и проверить, лежит ли точка (-4; 11) на графике. Подстановка в формулу: y0 = kx0 + b = -2 · (-4) + 3 = 8 + 3 = 11. Ответ: при x0 = -4 значение функции равно 11, значит точка (-4; 11) лежит на графике функции y = -2x + 3. Проверка: если абсцисса точки равна -4, то правая часть формулы действительно дает 11. Знак минус перед коэффициентом и знак минус у аргумента взаимно дают положительное произведение, поэтому результат не может быть меньше 3. Развернутая запись решения. Условие: Дана функция y = 2x - 5. Найдите ее значение при x0 = 7. Дано: y_0 - значение функции при выбранном аргументе; x_0 - заданный аргумент функции; k - коэффициент при аргументе, показывающий изменение y при увеличении x на 1; b - свободный член, значение функции при x = 0. Требуется получить искомую величину и проверить ее по исходному условию. Подстановка и вычисление: Подставляем аргумент: y0 = 2 · 7 - 5 = 14 - 5 = 9. Ответ: y0 = 9. Проверка выполняется обратной подстановкой: найденное значение возвращают в исходную формулу или уравнение и смотрят, получается ли заданная координата или верное равенство.

Частая ошибка

Часто вместо x0 подставляют значение y или координаты меняют местами. Еще одна ошибка - забыть свободный член b и посчитать только kx0. При отрицательных числах важно ставить скобки: -2 · (-4) не равно -8. В задачах с единицами нельзя подставлять, например, минуты в формулу, где коэффициент задан за час. Надежная проверка - подставить найденную координату или значение обратно в исходную формулу. Если равенство не выполняется, обычно ошибка в знаке свободного члена, порядке координат или делении на коэффициент.

Практика

Задачи с решением

Значение функции

Условие. Дана функция y = 2x - 5. Найдите ее значение при x0 = 7.

Решение. Подставляем аргумент: y0 = 2 · 7 - 5 = 14 - 5 = 9.

Ответ. y0 = 9

Точка таблицы

Условие. Для функции y = -3x + 4 заполните значение y при x0 = -2.

Решение. y0 = -3 · (-2) + 4 = 6 + 4 = 10.

Ответ. При x0 = -2 значение функции равно 10.

Дополнительные источники

ФИПИ. Открытый банк заданий ОГЭ по математике: задания на линейную функцию и графики
Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. Алгебра. 7 класс. М.: Просвещение
Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра. 7 класс. М.: Вентана-Граф/Просвещение

Связанные формулы

Математика

Линейная функция

$y = kx + b$

Линейная функция задает зависимость y = kx + b, где график представляет собой прямую, k отвечает за наклон, а b - за пересечение с осью Oy.

Математика

Угловой коэффициент прямой

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1},\quad x_1 \ne x_2$

Угловой коэффициент прямой равен отношению изменения y к изменению x между двумя разными точками этой прямой. Запись сразу показывает смысл результата и ограничения для подстановки.

Математика

График линейной функции по двум точкам

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1},\quad y - y_1 = k(x - x_1)$

Если известны две разные точки линейной функции, можно найти угловой коэффициент и построить прямую. Через две различные точки проходит единственная прямая.

Математика

Уравнение прямой через точку и угловой коэффициент

$y-y_1=k(x-x_1)$

Если известны точка прямой и ее угловой коэффициент, уравнение можно записать в виде y - y1 = k(x - x1). Она уточняет, какие величины входят в запись y-y_1=k(x-x_1) и какой результат получают после подстановки.

Математика

Прямая пропорциональность

$y = kx$

Прямая пропорциональность описывает зависимость, при которой одна величина равна другой величине, умноженной на постоянный коэффициент. Ее график проходит через начало координат.